Фактор группы Cмежные классы (стр. 2 из 5)

ТЕОРЕМА 2.1.4. Пусть H≤ K≤ G и G – конечная группа. Если T – правая трансверсаль подгруппы H в группе K, а S – правая трансверсаль подгруппы K в группе G, то TS – правая трансверсаль подгруппы H в группе G. В частности, | G : H | = | G : K || K : H |.

Доказательство

Пусть

T={t

, … ,t }, S={s , … , s }

Тогда

K=Ht

. . . Ht , Ht Ht Æ, i ≠j;

G=Ks

. . . Ks , Ks Ks Æ, i ≠j.

Теперь

G =( Ht

. . . Ht )s . . . ( Ht . . . Ht )s . (2.1.1)

Предположим, что Ht

s Ht s для некоторых натуральных a,b,c и d. Тогда

t

s (t s ) = t s s t ÎH ≤ K,

поэтому

s

s Î t Kt = K, K s =Ks

Но s

и s – элементы из правой трансверсали подгруппы K в группе G, поэтому s = s и b = d. Теперь

t

s (t s ) = t t ÎH, H t =Ht

и a = c. Таким образом, формула (2.1.1.) является разложением группы G по подгруппе H и TS – правая трансверсаль подгруппы H в группе G. Так как индекс подгруппы совпадает с числом элементов в правой трансверсали этой подгруппы, то

|G : H |=| TS |=| T | | S |=| K : H || G : K |

Отметим, что теорема Лагранжа вытекает из теоремы 2.1.4. при H=E.

2.3. Двойные смежные классы

Пусть H и K– подгруппы группы G и gÎG. Множество

HgK={ hgk | hÎH, kÎK}

называется двойным смежным классом группы G по подгруппам H и K

ЛЕММА 2.3.1. Пусть H и K –подгруппы группы G. Тогда справедливы следующие утверждения:

1) Каждый элемент gÎG содержится в единственном двойном смежном классе HgK;

2) Два двойных смежных класса по H и K либо совпадают, либо их пересечение пусто;

3) Группа G есть объединение непересекающихся двойных смежных классов по подгруппам H и K;

4) Каждый двойной смежный класс по H и K есть объединение правых смежных классов по H и левых смежных классов по K;

5) Если группа G конечна, то двойной смежный класс HgK содержит

| K: H

K| правых смежных классов по H и | H: H K | левых смежных классов по К.

Доказательство.

(1)Так как каждая подгруппа содержит единичный элемент, то

g=egeÎHgK

Допустим, что gÎHxK. Тогда g=hxk для некоторых hÎH, kÎK и

HgK=H(hxk)K=HxK.

(2) и (3) следуют из (1)

(4)Так как

HgK=

= ,

то утверждение (4) доказано.

Подсчитаем число правых смежных классов в разложении HgK=

по подгруппе H. Допустим, что Hgk =Hgk . Тогда

Hgk

k = Hg и k k Îg Hg K=H K

Справедливо и обратное, т.е. если k

k ÎH K, то

k

k Îg Hg, gk k ÎHg, gk ÎHgk

и Hgk

=Hgk . Поэтому, в двойном смежном классе HgK правых смежных классов по H столько, сколько их в группе Kпо подгруппе H K.