Фактор группы Cмежные классы (стр. 3 из 5)

Аналогично,

Hgk=

и h gK=h gK

тогда и только тогда, когда h

h ÎH K . Поэтому, в произведении HgK левых смежных классов по K будет точно столько, каков индекс

|H : H

K |

Произведение подгрупп. При g= e двойной смежный класс HgK=HK={hk | hÎH , kÎK} превращается в произведение подгрупп H и K . В общем случае HK не является подгруппой.

Пример:

Найдем разложение симметрической группы S

в левые смежные классы по подгруппе .

Для этого найдем все левые смежные классы группы

S

={Î,(12),(13),(23),(123),(132)} по подгруппе H= ={Î,(12)}

ÎH= Î{Î, (12)} = {Î, (12)} = H,

(12)H= (12) {Î, (12)} = {(12), Î} = H,

(13)H= (13) {Î, (12)} = {(13), (123)},

(23)H= (23) {Î, (12)} = {(23), (132)},

(123)H= (123){Î,(12)} = {(123),(13)} = (13)H,

(132)H= (132){Î,(12)} = {(132),(23)} = (23)

Искомое разложение принимает вид

S

=ÎH (13) H (23) H.

3. НОРМАЛЬНЫЕ ПОДГРУППЫ И ФАКТОР-ГРУППЫ

3.1 Нормальные подгруппы

Подгруппа H называется нормальной подгруппой группы G, если xH=Hx для всех xÎG. Запись H

G читается так: “H – нормальная подгруппа группы G”. Равенство xH=Hx означает, что для любого элемента h ÎH существует элемент h ÎH такой, что xh =h x.

ТЕОРЕМА 3.1.1.(Критерий нормальной подгруппы) Для подгруппы H группы G следующие утверждения эквивалентны:

1) H – нормальная подгруппа группы G;

2) Подгруппа H вместе с каждым своим элементом содержит все ему сопряженные элементы, т.е. h

ÎH для всех hÎH и всех xÎG;

3) Подгруппа H совпадает с каждой своей сопряженной подгруппой, т.е. H=H

для всех xÎG.

Доказательство.

Доказательство проведем по схеме (1)

(2) (3) (4)

(1)

(2). Пусть H G, т.е. xH=Hx для всех xÎG. Если h — произвольный элемент из H, то hx Hx = xH. Поэтому существует элемент h H такой, что hx = x h .Теперь x hx = h H.

(2)

(3). Пусть выполняются требование 2). Тогда H = {h | h H} ÍÍ H для всех x G. В частности, Hx Í H, т.е. xHx Í H. Теперь

H Í x

Hx =H и H = H для всех x G.

(3)

(1). Если H = H для всех x G, то x Hx = H и Hx = xH для всех x G, т.е. H – нормальная подгруппа группы G.

Ч.т.д.

СЛЕДСТВИЕ 3.1.1.

Если H

G и h H, то h Í H. Обратно, если h Í H для всех h H, то H G.

Понятие "нормальная подгруппа" можно рассматривать не только по отношению ко всей группе, но и относительно подгрупп. Если H £ K £ G, то подгруппа H будет нормальной в K, если xH = Hx для всех x

K.

Простая группа. В каждой группе G тривиальные подгруппы (единичная подгруппа E и сама группа G) являются нормальными подгруппами. Если в неединичной группе G нет других нормальных подгрупп, то группа G называется простой. Единичную группу E считают непростой группой.

ТЕОРЕМА 3.1.2. Абелева простая группа является циклической группой простого порядка. Обратно, каждая группа простого порядка будет простой абелевой группой.

3.2 Фактор-группы

Пусть H — нормальная подгруппа группы G. Обозначим через

совокупность всех левых смежных классов группы G по подгруппе H, т.е. = ={xH | x Î G}. Положим

(xH)(yH) = xyH. (3.2.1)

Проверим, что это равенство задает алгебраическую операцию на множестве

. Если xH = x H, yH = y H для некоторых x , y Î G, то x = xh, y = =yg, h и g Î H. Поэтому

(x

H)(y H) = x y H = (xh)(yg)H = xy(y hy)gH = xyH,

т.к. y

hy ÎH по теореме 3.1.1. Таким образом, равенство (3.2.1) не зависит от выбора представителей смежных классов и каждой паре xH, yH ставится в соответствие единственный элемент xyH.

Ясно, что предложенная операция (3.2.1) определена на

и ассоциативна. Элемент eH = H будет единичным, а элемент a H — обратным к элементу aH. Таким образом, доказана следующая.

ТЕОРЕМА 3.2.1. Совокупность

= {xH | x Î G} всех левых смежных классов группы G по нормальной подгруппе H с операцией

(xH)(yH) = xyH

образует группу с единичным элементом eH = H и обратным элементом (aH)

= a H.