Фактор группы Cмежные классы (стр. 4 из 5)

Группа

называется фактор-группой группы G по подгруппе H и обозначается через G/H.

Если H не будет нормальной подгруппой, то равенство (3.2.1.) не будет задавать алгебраическую операцию, и совокупность левых смежных классов не будет группой.

Очевидно, что если группа G конечна, то фактор-группа группы G по любой нормальной подгруппе H также будет конечной группой порядка, равного индексу подгруппы H в группе G, т.е.

|G/H |=| G : H |=| G | / | H |

ЛЕММА 3.2.1. Если фактор-группа G/Z(G) циклическая, то группа G абелева.

Доказательство.

Пусть G/Z(G) = á gZ(G)ñ циклическая группа и a, b — произвольные элементы группы G. Тогдаa = g

z , b = g z , z , z ÎZ(G), k, lÎZ

и

ab = g

z g z = g g z z = g g z z = g z g z = ba

ТЕОРЕМА 3.2.2. Все фактор-группы бесконечной циклической группы á аñ исчерпываются бесконечной циклической группой á аñ / E »á а ñ и конечными циклическими группами áaáа

ññ порядка m для каждого натурального числа m.

Доказательство.

По теореме 1.2 все подгруппы бесконечной циклической группы A = áаñ исчерпываются единичной подгруппой E и бесконечными циклическими подгруппами M = á а

ñ, m Î N. Так как каждая циклическая группа абелева, то в ней любая подгруппа нормальна.

Фактор-группа A/E очевидно будет бесконечной циклической группой, изоморфной A. Так как A = {a

| k Î Z}, то фактор-группа A/M состоит из смежных классов a M, k Î Z. Если два смежных класса совпадут a M = a M, то a ÎM и s - t кратно m. Отсюда следует, что смежные классы M, aM, a M, . , a M попарно различны. Кроме того, для любого a M Î A/M имеем:

t = mq + r, 0 ≤ r < mи a

M = a a M = a M.

Такимобразом,

A/M = {M, aM, a

M, . . . , a M} = áaMñ,

т.е. фактор-группа A/M будет конечной циклической группой порядка m.

ТЕОРЕМА 3.2.3. Все фактор-группы конечной циклической группы áañ порядка n исчерпываются конечными циклическими группами áaáа

ññ порядка m для каждого натурального m, делящего n.

Доказательство.

По теореме 1.3, все подгруппы конечной циклической группы A = áañпорядка n исчерпываются циклическими подгруппами M = á а

ñ порядка n/m для каждого натурального m, делящего n. Легко проверить, что

A/M = áaMñ = {aM, a

M, . . . , a M,M},

т.е. A/M=áaáа

ññ будет циклической группой порядка m.

Условимся через S(G,H) обозначать совокупность всех подгрупп группы G, содержащих подгруппу H. В частности, S(G,E)=S(G) — совокупность всех подгрупп группы G, а S(G,G) = {G}.

ТЕОРЕМА 3.2.4.(Теорема о соответствии)

Пусть H — нормальная подгруппа группы G. Тогда:

1) если U — подгруппа группы G и H ≤ U, то

= U/H — подгруппа фактор-группы = G/H;

2) каждая подгруппа фактор-группы

= G/H имеет вид = V/H, где V— подгруппа группы G и H £V ;

3) отображение

: U → является биекцией множества S(G,H) на множество S( );

4) если N Î S(G,H), то N — нормальная подгруппа группы G тогда и только тогда, когда N/H – нормальная подгруппа фактор-группы G/H.

Доказательство.

(1) Пусть U Î S(G,H) и пусть

={uH | u Î U} — совокупность смежных классов группы U по своей нормальной подгруппе H. Если u H, u H ÎÎ , то u , u Î U, а так как U — подгруппа, то u u Î U и u Î U. Поэтому,

(u

H)(u H) = u u H Î , (u H) = u H Î

и по критерию подгруппы (теорема 1.4) совокупность

– подгруппа группы .

(2) Пусть

— произвольная подгруппа из . Тогда состоит из некоторых смежных классов группы G по подгруппе H. Обозначим через V множество всех тех элементов группы G, из которых состоят смежные классы, принадлежащие , т.е. V = {x Î G | xH Î }. Если v , v Î V, то v H, v H Î , а так как — подгруппа, то