Фактор группы Cмежные классы (стр. 5 из 5)

(v

H)( v H) = v v H Î и (v H) = v H Î

Следовательно, v

v Î V и v Î V , т.е. V — подгруппа группы G. Ясно, что H ≤ Vэ

(3) Отображение

: U → будет сюръекцией на основании утверждения (2). Докажем, что – инъекция. Пусть U и V — подгруппы, содержащие H, и предположим, что подгруппы = {uH | u Î U} и = { vH | v Î V } совпадают. Тогда для любого элемента u Î U существует элемент v Î V такой, что uH = vH. Поэтому v u Î H ≤ V ∩ U. Теперь u Î V и U ≤ V . Аналогично проверяется обратное включение. Следовательно U = V и — инъекция.

(4) Если N

G, NÎS(G,H), то

(gH)

(nH)(gH) = g ngH Î N/H

для всех g Î G, n Î N. Поэтому

= N/H . Обратно, если , то

g

ngH = (gH) (nH)(gH) Î

и g

ngHÎN, значит N G.

Пример: Найдем все фактор-группы группы S

.

Среди подгрупп группы S

со своими сопряженными совпадают следующие подгруппы: E, S , H= (см. пример выше). По теореме 4.1. эти три подгруппы нормальны в S . Ясно, что S / S – единичная группа, а S / E изоморфна S .Порядок подгруппы H= равен 3, а порядок S / H равен 2. Поэтому S / H – циклическая группа порядка 2.Смежные классы S по H исчерпываются классами H и (12)H. Таким образом, группа S имеет три фактор-группы: S / H S , S / S E, S / H={H,(12)H}= .

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Теория групп является одним из самых важных разделов математики, а понятия фактор-группы и смежных классов – всего лишь маленькая частичка этого огромного айсберга знаний. В мире все еще существуют нерешенные проблемы теории групп, разбираясь же в самых простых определениях и теоремах можно прийти к чему-то большему. Возможно, в недалеком будущем именно мне удастся разрешить эти вопросы.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Александров, П.С. Введение в теорию групп /П.С. Александров –М.:Наука, 1980.

2. Богопольский, О.В. Введение в теорию групп /О.В. Богопольский – М.: Институт компьютерных исследований, 2002.

3. Монахов, В.С. Введение в теорию конечных групп и их классов /В.С.Монахов – Мн.:Вышэйшая школа, 2006.