Системы линейных алгебраических уравнений (стр. 2 из 2)
Подставляя коэффициенты из уравнений прямых
и 
, получаем: 
4) Уравнение прямой, проходящей через точку М1(x1,y1) и перпендикулярной к прямой
, представляется уравнением: 
Подставим координаты точки
и коэффициенты уравнения прямой 
: 
Координаты точки пересечения прямых
и найдём, решив систему уравнений:
Координаты точки пересечения прямых D(0,5; 5,5).
5) На рисунке изобразим все необходимые прямые и точки:
Ответ: 1)
; 2) ; 3) 
; 4) ; D(0,5; 5,5)..Задание №5
Построить на плоскости область решений и определить координаты угловых точек области решений системы неравенств:
Решение.
Построим прямые:
На рисунке изображены прямые и выделена интересующая нас область решений S.
Угловыми точками этой области являются точки А, В, С и D. Найдём их координаты, как координаты точек пересечения соответствующих двух прямых:
Итак, координаты угловых точек области решений неравенств:
Ответ:
.Задание №6
Не применяя правило Лопиталя, вычислить следующие пределы
1.
, если: а) 
, б) 
, в) 
.2.
Решение.
1) а)
б)
в)
2)
Введём замену
, тогда 
. Затем домножим числитель и знаменатель на выражение, сопряжённое числителю: 
Ответ: 1) а) 2; б) 0; в) 6; 2) 2.
Задание №7
Задана функция спроса от цены товара
. Найти эластичность спроса по цене 
при цене 
, и дать экономическую интерпретацию. 
Решение.
Эластичность функции y относительно переменной х вычисляется по формуле
Вычислим производную функции q по p и подставим наши значения в формулу:
Подставим значение
, тогда получим: 
Полученное значение эластичности спроса по цене показывает, что если цена увеличится на 1%, то спрос снизится на
%.Ответ:
.Задание №8
Исследовать функцию и построить ее график:
Решение.
1) Область определения функции
2) Функция не является периодической.
Функция является нечётной, так как
3) Так как функция нечётна, значит точка пересечения с осью Оу – это начало координат, т.е. точка (0; 0).
Точки пересечения с осью Ох:
,т.е. только точка (0; 0).4) y(x) непрерывна на всей области определения D(x), значит точек разрыва нет, вертикальных асимптот нет.
Так как пределы бесконечны, значит, горизонтальных асимптот нет.
Найдём наклонные асимптоты вида
, если они есть: 
Прямая
будет наклонной асимптотой.5) Найдём экстремумы функции и интервалы возрастания и убывания. Для этого найдём точки, в которых первая производная обращается в 0:
Т.е. критической является точка
.Но в точке x=0, производная не меняет знак, поэтому эта точка не является точкой экстремума.
На всей области определения функции y(x) производная
, следовательно, функция возрастает.6) Найдём интервалы выпуклости и вогнутости кривой, а также точки её перегиба. Для этого найдём точки, в которой вторая производная меняет знак.
Значит, функция имеет три точки перегиба:
.На каждом из промежутков
и 
вторая производная 
, следовательно, функция вогнута. На каждом из промежутков 
и 
вторая производная 
, следовательно, функция выпукла. 
7) Построим график функции
Задание №9
Найти градиент функции в указанной точке:
, М (1,1);Решение.
Градиент функции в точке
находится по формуле: 
Вычислим частные производные заданной функции Zи их значения в точке
: 
Подставим значения частных производных в точке
в формулу для вычисления градиента в точке, получим: 
Ответ:
.