Смекни!
smekni.com

Системы линейных алгебраических уравнений (стр. 2 из 2)

Подставляя коэффициенты из уравнений прямых

и
, получаем:

4) Уравнение прямой, проходящей через точку М1(x1,y1) и перпендикулярной к прямой

, представляется уравнением:

Подставим координаты точки

и коэффициенты уравнения прямой
:

Координаты точки пересечения прямых

и
найдём, решив систему уравнений:

Координаты точки пересечения прямых D(0,5; 5,5).

5) На рисунке изобразим все необходимые прямые и точки:

Ответ: 1)

; 2)
; 3)
; 4)
; D(0,5; 5,5)..

Задание №5

Построить на плоскости область решений и определить координаты угловых точек области решений системы неравенств:

Решение.

Построим прямые:

На рисунке изображены прямые и выделена интересующая нас область решений S.


Угловыми точками этой области являются точки А, В, С и D. Найдём их координаты, как координаты точек пересечения соответствующих двух прямых:

Итак, координаты угловых точек области решений неравенств:

Ответ:

.

Задание №6

Не применяя правило Лопиталя, вычислить следующие пределы

1.

, если: а)
, б)
, в)
.

2.

Решение.

1) а)


б)

в)

2)

Введём замену

, тогда
. Затем домножим числитель и знаменатель на выражение, сопряжённое числителю:

Ответ: 1) а) 2; б) 0; в) 6; 2) 2.

Задание №7

Задана функция спроса от цены товара

. Найти эластичность спроса по цене
при цене
, и дать экономическую интерпретацию.

Решение.

Эластичность функции y относительно переменной х вычисляется по формуле


Вычислим производную функции q по p и подставим наши значения в формулу:

Подставим значение

, тогда получим:

Полученное значение эластичности спроса по цене показывает, что если цена увеличится на 1%, то спрос снизится на

%.

Ответ:

.

Задание №8

Исследовать функцию и построить ее график:

Решение.

1) Область определения функции

2) Функция не является периодической.

Функция является нечётной, так как

3) Так как функция нечётна, значит точка пересечения с осью Оу – это начало координат, т.е. точка (0; 0).

Точки пересечения с осью Ох:

,т.е. только точка (0; 0).

4) y(x) непрерывна на всей области определения D(x), значит точек разрыва нет, вертикальных асимптот нет.

Так как пределы бесконечны, значит, горизонтальных асимптот нет.

Найдём наклонные асимптоты вида

, если они есть:


Прямая

будет наклонной асимптотой.

5) Найдём экстремумы функции и интервалы возрастания и убывания. Для этого найдём точки, в которых первая производная обращается в 0:

Т.е. критической является точка

.

Но в точке x=0, производная не меняет знак, поэтому эта точка не является точкой экстремума.

На всей области определения функции y(x) производная

, следовательно, функция возрастает.

6) Найдём интервалы выпуклости и вогнутости кривой, а также точки её перегиба. Для этого найдём точки, в которой вторая производная меняет знак.

Значит, функция имеет три точки перегиба:

.

На каждом из промежутков

и
вторая производная
, следовательно, функция вогнута. На каждом из промежутков
и
вторая производная
, следовательно, функция выпукла.

7) Построим график функции

Задание №9

Найти градиент функции в указанной точке:

, М (1,1);

Решение.

Градиент функции в точке

находится по формуле:

Вычислим частные производные заданной функции Zи их значения в точке

:

Подставим значения частных производных в точке

в формулу для вычисления градиента в точке, получим:

Ответ:

.