Линейные дифференциальные уравнения (стр. 4 из 11)

(i = m+1, …, n), (2.9)

т.е. линейную систему порядка n-m.

Рассуждая в обратном порядке, предположим, что

, …, ( имеет компоненты (i, j = m+1, …, n)) есть фундаментальная система решений на для системы (2.9). Пусть - матрица с элементами (i, j = m+1, …, n). Очевидно, что det 0 на . Для каждого j = m+1, …, n пусть (i = 1, …, m) определяется с помощью квадратур уравнений

(2.10)

(i = 1, …, m; p = m+1, …, n).

Пусть

(p = m+1, …, n) обозначает с компонентами (i = 1, …, n) и пусть (p = 1, …, m). Так как (p = m+1, …, n) удовлетворяют системе (2.9) и первым m уравнениям (2.8), то они должны также удовлетворять остальным n-m уравнениям (2.8), и поэтому (p = m+1, …, n) являются решениями системы (2.8). таким образом, если Ψ – матрица со столбцами (p = m+1, …, n) и

Ф=U Ψ,

то Ф есть матрица-решение (ЛО) на I. U – неособая матрица.

Так как det

=det на , то Ф есть неособая матрица на и, следовательно, является фундаментальным решением для системы (ЛО) на I.

Теорема 2.5. Пусть φ₁ , φ₂ , …, φ_m(m < n) – m известных линейно независимых решений системы (ЛО), причем φ_j(j = 1, …, m) имеют компоненты φ_ij(i = 1, …, n). Предположим, что определитель матрицы с элементами φ_ij(i, j = 1, …, m) на некотором подинтервале

интервала i не обращается в нуль. Тогда с помощью подстановки (2.7) задачу определения n линейно независимых решений системы (ЛО) на можно свети к решению системы (2.9)порядка n-m и к квадратурам (2.10).

Избавимся теперь от ограничения, что матрица Ф_mнеособая на некотором интервале. Ясно, что прямоугольная матрица с элементами φ_ij(i = 1, …, n; j = 1, …, m) имеет ранг m в силу независимости решений φ_j(j = 1, …, m). Таким образом, для каждого t = t₀ существует неособая квадратная матрица порядка m, которую мы получим, выбирая m строк i₁, …, i_m из прямоугольной матрицы с n строками и m столбцами. В силу непрерывности эта матрица неособая на некотором интервале

.

Хорошо известно и легко доказывается, что существует такая постоянная неособая матрица Т, применив которую к любому вектору х с n компонентами, получим матрицу Тх, имеющую своим m первыми компонентами компоненты вектора х с номерами i₁, …, i_m. Полагая

=Тх, мы заменим (ЛО) аналогичной системой, для которой выполняется первоначальное ограничение. Так как х=Т^-1

, то утверждение для х следует из доказанного уже утверждения для .

1.3 Неоднородные линейные системы

Пусть А – неособая квадратная матрица порядка n из непрерывных функций, определенных на действительном t-интервале I и b – непрерывный вектор на I, не равный тождественно нулю. Система уравнений

+b(t) (ЛН)

называется линейной неоднородной системой порядка n. Если элементы А и b непрерывны и даже измеримы и мажорируются суммируемой функцией на I, то существует единственное решение φ системы (ЛН), для которого

φ(τ) = ξ ,

где

и | ξ | < . Единственность решения следует из того, что если бы существовало два решения φ₁ и φ₂, то из разность φ = φ₁ - φ₂ была бы решением однородной системы (ЛО) на I при φ(τ) = 0. Но, по теореме единственности для (ЛО), разность φ должна равняться на I нулю тождественно и, следовательно, φ₁ = φ₂.

Если известна фундаментальная матрица Ф системы (ЛО), то легко найти решение системы (ЛН).

Теорема 3.1. Если Ф - фундаментальная матрица для системы (ЛО), то функция

(3.1)

есть решение системы (ЛН), удовлетворяющее начальному условию

φ(τ) = 0 (

).

Доказательство получается непосредственно при помощи прямой проверки.

Интуитивные соображения, с помощью которых можно получить выражение (3.1), заключаются в следующем6 для каждого постоянного вектора с функция Фс является решением системы (ЛО). Метод состоит в том, что мы рассматриваем с как функцию, определенную на I, и находим, какой должна быть с (если она существует), для того, чтобы функция φ = Фс была решением неоднородной системы (ЛН).

Пусть φ = Фс – решение системы (ЛН). Тогда

= +Ф =АФс + Ф = А φ + Ф = А φ + b,

где последнее равенство следует из (ЛН). Поэтому Ф

= b, или

= b.

Последнее уравнение всегда разрешимо, причем если с(τ) = 0, то

.

Итак, φ определяется по формуле (3.1).

Легко видеть, что в условиях теоремы 3.1 решение системы (ЛН), удовлетворяющее условию φ(τ) = ξ (

и | ξ | < ), дается в виде

, (3.2)

где

- решение системы (ЛО), удовлетворяющее условию

φ_h(τ) = ξ .

Формула (3.1) (или (3.2)) называется формулой вариации постоянных для системы (ЛН).

Заметим, что формулу (3.1) можно записать в виде

,

где Ψ – фундаментальная матрица системы

,

сопряженной системе (ЛО). Другая форма записи формулы (3.1) такова:

,

однако здесь необходимо ограничение

.

1.4 Линейные системы с постоянными коэффициентами

Пусть А – постоянная квадратная матрица порядка n и рассмотрим соответствующую однородную систему