Смекни!
smekni.com

Линейные дифференциальные уравнения (стр. 5 из 11)

. (4.1)

Если n = 1, то (4.1) имеет очевидное решение еtА, и решение, которое при t = τ равно ξ , имеет вид е(t-τ)Аξ . Оказывается, что решение имеет эту форму и в том случае, когда х, ξ являются векторами произвольной конечной размерности и А – квадратная матрица порядка n.

Теорема 4.1. Фундаментальная матрица Ф системы (4.1) дается формулой

Ф(t) = еtА (|t| <

), (4.2)

и решение φ системы (4.1), удовлетворяющее условию

φ(τ) = ξ (|τ | <

, | ξ | <
),

имеет вид

φ(t) = е(t-τ)Аξ (|t| <

). (4.3)

Доказательство. Так как е(tt = еtА еΔtА, то из определения производной легко получаем, что

Поэтому Ф(t) = еtА есть решение системы (4.1). Так как Ф(0) = Е, то из (1.8) следует, что det Ф(t) = еtspА . Итак, Ф – фундаментальная матрица. Теперь формула (4.3) очевидна.

Замечание. Заметим, что выражение

не обязано быть решением системы
, если матрицы А(t) и
не коммутируют. Они коммутируют, когда матрица А(t) либо постоянная, либо диагональная.

Интересно исследовать структуру фундаментальной матрицы (4.2). пусть J – каноническая форма матрицы А, указанная в теореме 1.1, и предположим, что Р – неособая постоянная матрица, такая, что АР = PJ.

Тогда

(4.4)

и J имеет вид

(4.5)

где J0 – диагональная матрица с элементами λ1, λ2,…, λq и

(i = 1, …, s). (4.6)

Далее,

(4.7)

и легкое вычисление показывает, что

(4.8)

Так как

, то
. Таким образом,

(4.9)

где

- квадратная матрица порядка ri (n = q + r1 + … + rs). Поэтому, если известна каноническая форма (4.5), (4.6) матрицы А, то фундаментальная матрица еtА системы (4.1) дается в явном виде формулой (4.4), в которой еtJ может быть вычислена из (4.7), (4.8), (4.9).

Другая фундаментальная матрица системы (4.1) такова:

Ψ(t) = еtАP = P еtJ. (4.10)

Пусть матрица Р имеет своими столбцами векторы р1, …, рn. Столбцы матрицы Ψ. Которые мы обозначаем через ψ1 , ψ 2 , …, ψn , образуют совокупность n линейно независимых решений системы (4.1) и из (4.10) и вида матрицы J получаем

,
, …,
,

,

,

,

,

.

Так как АР = PJ, то векторы р1, …, рn удовлетворяют соотношениям

Ар1 = λ1р1,…, Арq= λqрq,

Арq+1 = λq+1рq+1,

Арq+2 = рq+1 + λq+1рq+2,

Арn-rs+1 = λq+sрn-rs+1,

Арn-rs+2 = рn-rs+1q+sрn-rs+2,

Арn= рn-1q+sрn.

Решения ψj выражаются посредством независимых векторов р1, …, рn из предыдущей последовательности уравнений.

Формула вариации постоянных (3.1) в применении к неоднородной системе

+b(t)
, (4.11)

где А – постоянная матрица, дает для решения φ системы (4.11), удовлетворяющего условию φ(τ) = 0,

, выражение

.

Решение φ системы (4.11), удовлетворяющее условию φ(τ) = ξ , где

, | ξ |<
, имеет вид

.

1.5 Линейные системы с периодическими коэффициентами

Рассмотрим линейную однородную систему

, (5.1)

где А – матрица элементами которой служат непрерывные комплексные функции, и

(5.2)

для некоторой постоянной ω

0. В этом случае (5.1) называется периодической системой с ω-периодом А. Основной результат для таких систем состоит в том, что фундаментальную матрицу можно представить как произведение периодической матрицы с тем же периодом ω и матрицы-решения для системы с периодическими коэффициентами.

Теорема 5.1. Если Ф – фундаментальная матрица для системы (5.1), то тем же свойством обладает матрица

Ψ(t) = Ф(t+ω)

.

Каждой такой матрице Ф соответствует периодическая неособая матрица Р с периодом ω и постоянная матрица R, такие, что

Ф(t) = P(t)etR. (5.3)

Доказательство. Так как

,

то в силу (5.2)

.

Поэтому Ψ есть матрица-решение системы (5.1), и эта матрица фундаментальная, так как det Ψ(t) = det Ф(t+ω)

0 для
.

Следовательно, существует постоянная матрица С, такая что

Ф(t+ω) = Ф(t)С, (5.4)

и, сверх этого, существует постоянная матрица R, такая что

С = еωR. (5.5)

Из (5.4) и (5.5) получаем

Ф(t+ω) = Ф(t) еωR. (5.6)

Определим матрицу Р по формуле

Р(t) = Ф(t) е-tR. (5.7)

Тогда, используя (5.6), получаем

Р(t+ω) = Ф(t+ω) е-(t+ω)R = Ф(t) еωR е-(t+ω)R = Ф(t) е-tR=Р(t).

Так как матрицы Ф(t) и е-tRдля

неособые, то Р(t) такая же, и это завершает доказательство.

Значение теоремы 5.1 состоит в том, что значение фундаментальной матрицы Ф на интервале длины ω, например

, дает возможность определить Ф на всей числовой прямой. В самом деле, матрица С в (5.5) определяется как формула Ф-1(0)Ф(ω), а отсюда R определяется как (lnC)/ω. Теперь матрица Р(t) определена на интервале (0,ω) по формуле (5.7), а так как Р(t) имеет период ω, то она определяется на интервале
. Теперь матрица Ф определена на интервале
по формуле (5.3).

Если Ф1 – некоторая другая фундаментальная матрица системы (5.1), для которой выполняется (5.2), то

Ф = Ф1Т,

где Т – некоторая постоянная неособая матрица. Из (5.6) следует, что

Ф1(t+ω)Т = Ф1(t)ТеωR,

или

Ф1(t+ω) = Ф1(t)(ТеωRТ-1). (5.8)

Таким образом, в силу (5.8) каждая фундаментальна матрица Ф1 определяет матрицу ТеωRТ-1, подобную еωR . Наоборот, если Т – любая постоянная неособая матрица, то существует фундаментальная матрица Ф1 системы (5.1), такая, что выполняется (5.8). Следовательно, хотя Ф не определяет R однозначно, множество всех фундаментальных матриц системы (5.1), а следовательно матрица А, определяет однозначно все связанные с Rвеличины, инвариантные относительно подобных преобразований. В частности, множество всех фундаментальных матриц системы (5.1) определяет однозначно множество характеристических корней, а именно характеристические корни матрицы С = еωR. Обозначим эти корни через λ1, λ2,…, λnи назовем их мультипликаторами, соответствующими матрице А. Ни один из мультипликаторов не равен нулю, ибо

= det еωR
0. Характеристические корни матрицы R называются характеристическим показателями.