Если n = 1, то (4.1) имеет очевидное решение еtА, и решение, которое при t = τ равно ξ , имеет вид е(t-τ)Аξ . Оказывается, что решение имеет эту форму и в том случае, когда х, ξ являются векторами произвольной конечной размерности и А – квадратная матрица порядка n.
Теорема 4.1. Фундаментальная матрица Ф системы (4.1) дается формулой
Ф(t) = еtА (|t| <
и решение φ системы (4.1), удовлетворяющее условию
φ(τ) = ξ (|τ | <
имеет вид
φ(t) = е(t-τ)Аξ (|t| <
Доказательство. Так как е(t-Δt)А = еtА еΔtА, то из определения производной легко получаем, что
Поэтому Ф(t) = еtА есть решение системы (4.1). Так как Ф(0) = Е, то из (1.8) следует, что det Ф(t) = еtspА . Итак, Ф – фундаментальная матрица. Теперь формула (4.3) очевидна.
Замечание. Заметим, что выражение
Интересно исследовать структуру фундаментальной матрицы (4.2). пусть J – каноническая форма матрицы А, указанная в теореме 1.1, и предположим, что Р – неособая постоянная матрица, такая, что АР = PJ.
Тогда
и J имеет вид
где J0 – диагональная матрица с элементами λ1, λ2,…, λq и
Далее,
и легкое вычисление показывает, что
Так как
где
Другая фундаментальная матрица системы (4.1) такова:
Ψ(t) = еtАP = P еtJ. (4.10)
Пусть матрица Р имеет своими столбцами векторы р1, …, рn. Столбцы матрицы Ψ. Которые мы обозначаем через ψ1 , ψ 2 , …, ψn , образуют совокупность n линейно независимых решений системы (4.1) и из (4.10) и вида матрицы J получаем
Так как АР = PJ, то векторы р1, …, рn удовлетворяют соотношениям
Ар1 = λ1р1,…, Арq= λqрq,
Арq+1 = λq+1рq+1,
Арq+2 = рq+1 + λq+1рq+2,
Арn-rs+1 = λq+sрn-rs+1,
Арn-rs+2 = рn-rs+1+λq+sрn-rs+2,
Арn= рn-1+λq+sрn.
Решения ψj выражаются посредством независимых векторов р1, …, рn из предыдущей последовательности уравнений.
Формула вариации постоянных (3.1) в применении к неоднородной системе
где А – постоянная матрица, дает для решения φ системы (4.11), удовлетворяющего условию φ(τ) = 0,
Решение φ системы (4.11), удовлетворяющее условию φ(τ) = ξ , где
Рассмотрим линейную однородную систему
где А – матрица элементами которой служат непрерывные комплексные функции, и
для некоторой постоянной ω
Теорема 5.1. Если Ф – фундаментальная матрица для системы (5.1), то тем же свойством обладает матрица
Ψ(t) = Ф(t+ω)
Каждой такой матрице Ф соответствует периодическая неособая матрица Р с периодом ω и постоянная матрица R, такие, что
Ф(t) = P(t)etR. (5.3)
Доказательство. Так как
то в силу (5.2)
Поэтому Ψ есть матрица-решение системы (5.1), и эта матрица фундаментальная, так как det Ψ(t) = det Ф(t+ω)
Следовательно, существует постоянная матрица С, такая что
Ф(t+ω) = Ф(t)С, (5.4)
и, сверх этого, существует постоянная матрица R, такая что
С = еωR. (5.5)
Из (5.4) и (5.5) получаем
Ф(t+ω) = Ф(t) еωR. (5.6)
Определим матрицу Р по формуле
Р(t) = Ф(t) е-tR. (5.7)
Тогда, используя (5.6), получаем
Р(t+ω) = Ф(t+ω) е-(t+ω)R = Ф(t) еωR е-(t+ω)R = Ф(t) е-tR=Р(t).
Так как матрицы Ф(t) и е-tRдля
Значение теоремы 5.1 состоит в том, что значение фундаментальной матрицы Ф на интервале длины ω, например
Если Ф1 – некоторая другая фундаментальная матрица системы (5.1), для которой выполняется (5.2), то
Ф = Ф1Т,
где Т – некоторая постоянная неособая матрица. Из (5.6) следует, что
Ф1(t+ω)Т = Ф1(t)ТеωR,
или
Ф1(t+ω) = Ф1(t)(ТеωRТ-1). (5.8)
Таким образом, в силу (5.8) каждая фундаментальна матрица Ф1 определяет матрицу ТеωRТ-1, подобную еωR . Наоборот, если Т – любая постоянная неособая матрица, то существует фундаментальная матрица Ф1 системы (5.1), такая, что выполняется (5.8). Следовательно, хотя Ф не определяет R однозначно, множество всех фундаментальных матриц системы (5.1), а следовательно матрица А, определяет однозначно все связанные с Rвеличины, инвариантные относительно подобных преобразований. В частности, множество всех фундаментальных матриц системы (5.1) определяет однозначно множество характеристических корней, а именно характеристические корни матрицы С = еωR. Обозначим эти корни через λ1, λ2,…, λnи назовем их мультипликаторами, соответствующими матрице А. Ни один из мультипликаторов не равен нулю, ибо