Смекни!
smekni.com

Линейные дифференциальные уравнения (стр. 6 из 11)

Интересно выяснить явный вид множества n линейно независимых векторов-решений системы (5.1). Пусть Т – постоянная неособая матрица, такая что матрица Т-1RТ = J имеет каноническую форму, указанную в теореме 1.1, и положим Ф1 = ФТ, Р1 = РТ. Тогда из (5.3) следует

Ф1(t) = Р1(t) еtJ, Р1(t+ω) = Р1(t). (5.9)

Поэтому, если ρi– характеристические корни R, то матрица еtJимеет вид

где

и

(i = 1, …, s; q+
= n).

Очевидно, что λi= еωρi, и поэтому, хотя сами корни ρiопределяются неоднозначно, но их действительные части определяются однозначно. Из (5.9) следует, что столбцы φ1 , φ2 , …, φnматрицы Ф1, которые образуют множество n линейно независимых решений системы (5.1), имеют вид:

,

,

,

,

, (5.10)

,

,

.

В этих формулах р1 , р2 , …, рn- периодические векторы-столбцы матрицы Р1.

Из (5.10) очевидно, что если Reρi< 0 или, что эквивалентно, | λi | < 1, то при

решения φi(t) экспоненциально убывают.

Из (5.6) следует, что Ф(ω) = Ф(0)еωR, и поэтому λiможно рассматривать как характеристические корни матрицыФ-1(0)Ф(ω). В частности, если Ф(0) = Е, то еωR= Ф(ω) и λi являются характеристическими корнями матрицы Ф(ω). Так как

(5.11)

то n-й корень можно определить из (5.11), если известны n-1 корней λi.

Действительная неособая матрица С не обязана иметь действительный логарифм, т.е. не всегда существует действительная матрица В, такая что еВ = С. В самом деле, матрица с одной строкой и одним столбцом С = -1 доставляет соответствующий пример. Однако справедливо утверждение, что для действительной матрицы С существует действительная матрица В, такая, что С2 = еВ .

Используя это при доказательстве теоремы 5.1, нетрудно получить следующий результат6 если в системе (5.1) матрица А (t) действительная периодическая с периодом ω, то каждой действительной фундаментальной матрице Ф соответствует действительная матрица Р периода 2ω и действительная постоянная матрица R, такие, что

Ф(t) = Р(t)еtR.


2. Линейные дифференциальные уравнения

2.1 Линейные дифференциальные уравнения порядка n

Предположим, что n+1 коэффициентов а0, а1, …, аnпредставляют собой непрерывные (комплексные) функции, определенные на действительном t-интервале I, и пусть Ln обозначает формальный дифференциальный оператор

;

это означает, что если функция g имеет n производных на I, то

Далее предположим, что а0(t)

0 для
. Тогда, по определению, уравнение

(в подробной записи

(
)) есть дифференциальное уравнение

;

оно называется линейным однородным дифференциальным уравнением порядка n. Соответствующая этому уравнению система есть векторное уравнение


(6.1)

где

(6.2)

Так как (6.1) – линейная система с непрерывной на I матрицей коэффициентов А, то существует единственный вектор-решение φ на I системы (6.1), удовлетворяющий условию

где

, |ξ| <
. Таким образом, φ1 – первая компонента
- удовлетворяет условиям

…,
(6.3)

Так как φ1 – решение уравнения

, то это решение удовлетворяет условиям (6.3).

Применим теперь остальные результаты, полученные ранее для линейных систем, к уравнению

.

Если φ1, …, φn– n решений уравнения

, то матрица

(6.4)

есть матрица-решение для (6.1). Определитель этой матрицы называется вронскианом уравнения

, соответствующим решениям φ1, …, φn, и обозначается через W(φ1, …, φn). При фиксированных φ1, …, φn он является функцией t на I и его значение в точке t обозначается W(φ1, …, φn)(t). Из того, что для линейной системы вида (6.1)

,

следует (замечая из (6.2), что spA = - а10)

W(φ1, …, φn)(t) = W(φ1, …, φn)(τ)

. (6.5)

Теорема 6.1. Необходимое и достаточное условие того, чтобы n решений φ1, …, φn уравнения

на интервале I были линейно независимы, заключается в том, что

W(φ1, …, φn)

0
.

Каждое решение уравнения

есть линейная комбинация с комплексными коэффициентами любых nлинейно независимых решений.

Доказательство. Если решения φ1, …, φnна I линейно зависимы. То существуют постоянные с1, …, сn, не все равные нулю, такие, что

Отсюда следует тождество

(k = 0, 1, …, n-1),

и поэтому векторы

с компонентами
(i = 1, 2, …, n) линейно зависимы на I. Наоборот, если векторы
линейно зависимы, то тем же свойством обладают решения φ1, …, φnуравнения
. Из теоремы 2.2 следует, что необходимое и достаточное условие линейной независимости векторов
заключается в том, что det Ф(t)
0 на I, где Ф – матрица (6.4). Но это требование в точности совпадает с условием W(φ1, …, φn)(t)
0 на I. В силу (6.5), если W(φ1, …, φn)(τ)
0 для некоторого
, то W(φ1, …, φn)(t)
0 для любого
.