Интересно выяснить явный вид множества n линейно независимых векторов-решений системы (5.1). Пусть Т – постоянная неособая матрица, такая что матрица Т-1RТ = J имеет каноническую форму, указанную в теореме 1.1, и положим Ф1 = ФТ, Р1 = РТ. Тогда из (5.3) следует
Ф1(t) = Р1(t) еtJ, Р1(t+ω) = Р1(t). (5.9)
Поэтому, если ρi– характеристические корни R, то матрица еtJимеет вид
где
и
(i = 1, …, s; q+ = n).Очевидно, что λi= еωρi, и поэтому, хотя сами корни ρiопределяются неоднозначно, но их действительные части определяются однозначно. Из (5.9) следует, что столбцы φ1 , φ2 , …, φnматрицы Ф1, которые образуют множество n линейно независимых решений системы (5.1), имеют вид:
, , , , , (5.10) , , .В этих формулах р1 , р2 , …, рn- периодические векторы-столбцы матрицы Р1.
Из (5.10) очевидно, что если Reρi< 0 или, что эквивалентно, | λi | < 1, то при
решения φi(t) экспоненциально убывают.Из (5.6) следует, что Ф(ω) = Ф(0)еωR, и поэтому λiможно рассматривать как характеристические корни матрицыФ-1(0)Ф(ω). В частности, если Ф(0) = Е, то еωR= Ф(ω) и λi являются характеристическими корнями матрицы Ф(ω). Так как
(5.11)то n-й корень можно определить из (5.11), если известны n-1 корней λi.
Действительная неособая матрица С не обязана иметь действительный логарифм, т.е. не всегда существует действительная матрица В, такая что еВ = С. В самом деле, матрица с одной строкой и одним столбцом С = -1 доставляет соответствующий пример. Однако справедливо утверждение, что для действительной матрицы С существует действительная матрица В, такая, что С2 = еВ .
Используя это при доказательстве теоремы 5.1, нетрудно получить следующий результат6 если в системе (5.1) матрица А (t) действительная периодическая с периодом ω, то каждой действительной фундаментальной матрице Ф соответствует действительная матрица Р периода 2ω и действительная постоянная матрица R, такие, что
Ф(t) = Р(t)еtR.
Предположим, что n+1 коэффициентов а0, а1, …, аnпредставляют собой непрерывные (комплексные) функции, определенные на действительном t-интервале I, и пусть Ln обозначает формальный дифференциальный оператор
;это означает, что если функция g имеет n производных на I, то
Далее предположим, что а0(t)
0 для . Тогда, по определению, уравнение(в подробной записи
( )) есть дифференциальное уравнение ;оно называется линейным однородным дифференциальным уравнением порядка n. Соответствующая этому уравнению система есть векторное уравнение
где
(6.2)Так как (6.1) – линейная система с непрерывной на I матрицей коэффициентов А, то существует единственный вектор-решение φ на I системы (6.1), удовлетворяющий условию
где
, |ξ| < . Таким образом, φ1 – первая компонента - удовлетворяет условиям …, (6.3)Так как φ1 – решение уравнения
, то это решение удовлетворяет условиям (6.3).Применим теперь остальные результаты, полученные ранее для линейных систем, к уравнению
.Если φ1, …, φn– n решений уравнения
, то матрица (6.4)есть матрица-решение для (6.1). Определитель этой матрицы называется вронскианом уравнения
, соответствующим решениям φ1, …, φn, и обозначается через W(φ1, …, φn). При фиксированных φ1, …, φn он является функцией t на I и его значение в точке t обозначается W(φ1, …, φn)(t). Из того, что для линейной системы вида (6.1) ,следует (замечая из (6.2), что spA = - а1/а0)
W(φ1, …, φn)(t) = W(φ1, …, φn)(τ)
. (6.5)Теорема 6.1. Необходимое и достаточное условие того, чтобы n решений φ1, …, φn уравнения
на интервале I были линейно независимы, заключается в том, чтоW(φ1, …, φn)
0 .Каждое решение уравнения
есть линейная комбинация с комплексными коэффициентами любых nлинейно независимых решений.Доказательство. Если решения φ1, …, φnна I линейно зависимы. То существуют постоянные с1, …, сn, не все равные нулю, такие, что
Отсюда следует тождество
(k = 0, 1, …, n-1),и поэтому векторы
с компонентами (i = 1, 2, …, n) линейно зависимы на I. Наоборот, если векторы линейно зависимы, то тем же свойством обладают решения φ1, …, φnуравнения . Из теоремы 2.2 следует, что необходимое и достаточное условие линейной независимости векторов заключается в том, что det Ф(t) 0 на I, где Ф – матрица (6.4). Но это требование в точности совпадает с условием W(φ1, …, φn)(t) 0 на I. В силу (6.5), если W(φ1, …, φn)(τ) 0 для некоторого , то W(φ1, …, φn)(t) 0 для любого .