Смекни!
smekni.com

Линейные дифференциальные уравнения (стр. 8 из 11)

(6.13)

где [u, v](ti) – значение [u, v] при t = ti.

Доказательство. Следует проинтегрировать тождество (6.11) в пределах от t1 до t2 .

Если ψ – известное решение уравнения

на I, то в силу (6.11) отыскание решения Lnх = 0 сводится к отысканию функции φ, удовлетворяющей уравнению (n-1)-го порядка

Неоднородное линейное уравнение порядка n. Предположим, что на действительном t-интервале Iа0

0, а1, …, аnи b – непрерывные функции, и рассмотрим уравнение

,

которое совпадает с уравнением

Это уравнение (в случае b(t)

0) называется неоднородным линейным уравнением порядка n. Соответствующая этому уравнению система имеет вид

, (6.14)

где А – матрица (6.2) и

- вектор-столбец со всеми нулевыми элементами, кроме последнего, который равен b/а0. Таким образом, соответствующая уравнению Lnх = b(t) система (6.14) есть линейная неоднородная система; существование и единственность решения для системы (6.14) обеспечивает, как обычно, существование и единственность решения для уравнения Lnх = b(t).

Теорема 6.4. Если φ1, …, φn– фундаментальное множество для однородного уравнения

(
на I),

то решение ψ неоднородного уравнения

Lnх = b(t) (

на I),

удовлетворяющее условию

(
, |ξ| <
),

имеет вид

(6.15)

где

- решение уравнения Lnх = 0, для которого
, и Wk1, …, φn) –определитель, получаемый из W(φ1, …, φn) в результате замены k-го столбца на (0, …, 0, 1).

Доказательство. В силу (3.1) первая компонента ψ = ψ1 вектора-решения

системы (6.14), для которого
= 0, имеет вид

где

- элемент, находящийся на пересечении первой строки и n-го столбца матрицы Ф(t)Ф-1(s). Напомним, что на пересечении i-й строки и j-го столбца матрицы Ф(t) стоит элемент
и что det Ф(t) = W(φ1, …, φn)(t). Далее, на пересечении i-й строки и n-го столбца матрицы Ф-1 стоит элемент

где

- алгебраическое дополнение элемента
в Ф. Поэтому

где Wk1, …, φn)(s) определен в формуле теоремы. Таким образом, решение ψ уравнения Lnх = b(t) , удовлетворяющее условию

= 0, имеет вид

и очевидно, что (6.15) дает решение, удовлетворяющее условию

, если
.

Линейное уравнение порядка n с постоянными коэффициентами. Рассмотрим тот случай, когда в Lnвсе коэффициенты а0 = 1, а1, …, аn – постоянные. В этом случае можно предполагать, что I есть вся числовая ось. Далее, уравнению

(6.16)

соответствует система

(6.17)

где А – постоянная матрица

(6.18)

Можно предполагать, что для (6.16) можно указать фундаментальное множество решений, и точный вид этих функций зависит от характеристического многочлена f(λ) = det (λE - A) постоянной матрицы А в (6.18).

Лемма. Характеристический многочлен для матрицы А в (6.18) имеет вид

f(λ) = λn+ а1 λn-1 +…+ аn. (6.19)

Заметим, что f(λ) может быть получено из Ln(х) формальной заменой х(k) на λk.

Доказательство проводится по индукции. Для n = 1 А = - а1; значит det(λE1 - A) = λ + а1 и, следовательно, (6.19) верно для n = 1. Предположим, что результат справедлив для n – 1. Разложим определитель

det(λEn - A) =

по элементам первого столбца и заметим, что коэффициент при λ есть определитель (n-1)-го порядка, именно det(λEn-1 – A1), где

Поэтому λdet(λEn-1 – A1) = λn+ а1 λn-1 +…+ аn--1λ. Единственный другой ненулевой элемент в первом столбце есть аnи его алгебраическое дополнение равно 1. Поэтому det(λEn – A) = λn+ а1 λn-1 +…+ аn--1λ + аn, что и требовалось доказать.

Теорема 6.5 (без доказательства). Пусть λ1, …, λn- различные корни характеристического уравнения

f(λ) = λn+ а1 λn-1 +…+ аn = 0

и пусть кратность корня λiравна mi(i = 1, …, s ). Тогда фундаментальное множество для (6.16) дается n функциями

tkeλi (k = 0, 1,…, mi – 1; i = 1, 2,…, s). (6.20)

2.2 Линейные уравнения с аналитическими коэффициентами

Предположим, что А – квадратная матрица порядка n и b – n-мерный вектор, определенные и аналитические в односвязной области D z-плоскости, и пусть

. Используя метод последовательных приближений, нетрудно показать, что линейная система

(7.1)

при условии

имеет в D единственное аналитическое решение

.

В самом деле, пусть

и пусть С – дуга длины L, лежащая в D, соединяющая точки z0 и z1 и имеющая непрерывно вращающуюся касательную. Обозначим через s длину дуги вдоль С, начиная от точки z0. Выберем постоянную К настолько большой, чтобы было | A(z) | < K и |
| < K для
. Пусть
и

причем интеграл берется вдоль С, так что приближения

определены на С. Нетрудно получить оценки

Очевидно, эти оценки справедливы для всех точек z в D, достижимых из z0 другой длины L, на которой |A(z)| и |

| ограничены постоянной K. Отсюда следует, что эти оценки справедливы в каждом фиксированном множестве R, содержащемся в D. Так как каждая функция
аналитична в R, то из равномерной сходимости
следует, что предельная функция
также аналитична в R. Далее,

Это доказывает утверждение для R и, следовательно, для D.