Кроме того, все теоремы, доказанные в пп. 1.2 и 1.3, будучи существенно алгебраической природы, справедливы для системы (7.1).
Соответственно этому, если n+1 функций а1, …, аn, b аналитичны в D, то линейное уравнение порядка n
(7.2)имеет в D единственное решение, удовлетворяющее условиям
, , …, ,где w1, …, wn – n данных комплексных чисел. Наконец, все результаты п. 2.1 распространяются очевидным образом на случай (7.2).
Если коэффициенты линейной системы дифференциальных уравнений при
стремятся к постоянным, то иногда возможно охарактеризовать поведение решений.Здесь рассматривается проблема для действительного переменного. Рассмотрим пример
где v – действительная дифференцируемая функция, для которой
, r – интегрируемая функция и ,для некоторого t0. (На самом деле достаточно, чтобы функция v имела в интервале
ограниченную вариацию.) Без ограничения общности можно в дальнейшем предполагать, что t0 = 0. Из доказанной ниже теоремы следует, что рассматриваемое уравнение имеет два решения φ и ψ, такие, чтопри
, а ψ имеет аналогичное поведение с заменой i на –i.Этот результат показывает, что функция r нисколько не влияет на грубую асимптотику. Однако случай
(0 < α < 1)убеждает нас в том, что влияние v существенно. Эти асимптотические формулы показывают также, что если положить в уравнении функцию r(t) равной нулю, а 1 + v(t) – постоянной, то результат будет отличаться от точного только членом о(1) при
.В дальнейшем будет рассматриваться линейная система
(8.1)которая включает как частный случай предыдущий пример.
Теорема 8.1. Пусть А – постоянная матрица с различными характеристическими корнями μj, j = 1, …, n. Пусть матрица V дифференцируема и удовлетворяет условию
(8.2)и пусть
при . Пусть матрица R интегрируема и . (8.3)Обозначим корни уравнения det (A + V(t) - λE) = 0 через λj(t), j = 1, …, n. Очевидно, что можно, если это необходимо, переставить μj так, чтобы
. Для каждого k положимДопустим, что все j, 1
j n, попадают в один из двух классов I1 и I2, где , если прии
, (8.4) , если ; (8.5)здесь kфиксировано и К – постоянная. Пусть pk – характеристический вектор А, соответствующий μk, так что
Аpk = μk pk. (8.6)
Тогда существует решение φk системы (8.1) и число t0, 0
t0 , такие, что (8.7)Доказательство. Если условия теоремы выполняются для всех k, 1
k n, и Ф – матрица со столбцами φ1, …, φn, то Ф – фундаментальная матрица, так как det Ф(t) 0 для больших t, ибо pk линейно независимы.Предположим в начале, что А + V(t) для t
t0 имеет диагональный вид А(t) причем t0 выбрано так, что (8.8)Пусть Ψ(t) – диагональная матрица:
Ψ(t) =
так что
Пусть еК - вектор-столбец со всеми нулевыми элементами, за исключением k-го, который равен 1, и ψk – вектор, определенный равенством
При фиксированном k и I1, I2, определенных согласно неравенствам (8.4), (8.5), положим
Ψ = Ψ1 + Ψ2,
где диагональные матрицы Ψ1 и Ψ2 содержат элементы Ψ, соответствующие столбцам с индексами j, принадлежащим соответственно I1 и I2. Тогда
(j = 1, 2). (8.10)Рассмотрим теперь уравнение
(8.11)Можно непосредственно проверить, что если уравнение (8.11) имеет решение φ, то
Последнее уравнение имеет рассматриваемый нами вид (8.1)
Пусть φ0(t) = 0 и
(8.13)Тогда φ1(t) = ψk(t) и для t
t0 (8.14)Каждый элемент диагональной матрицы
имеет видили равен нулю. Но для t0
τ tПоэтому для t0
τ tТочно также для τ
t получимИспользуя эти неравенства, получаем из (8.13)
Из (8.8) и (8.14) теперь по индукции следует
Отсюда следует равномерная сходимость последовательности {φj} на каждом конечном подинтервале интервала [t0,
). Так как φjнепрерывно, то предельная функция φ также непрерывна и, очевидно, (8.15)Покажем теперь, что
(8.16)