Линейные дифференциальные уравнения (стр. 9 из 11)

Кроме того, все теоремы, доказанные в пп. 1.2 и 1.3, будучи существенно алгебраической природы, справедливы для системы (7.1).

Соответственно этому, если n+1 функций а₁, …, а_n, b аналитичны в D, то линейное уравнение порядка n

(7.2)

имеет в D единственное решение, удовлетворяющее условиям

, , …, ,

где w₁, …, w_n – n данных комплексных чисел. Наконец, все результаты п. 2.1 распространяются очевидным образом на случай (7.2).

2.3 Асимптотическое поведение решений некоторых линейных систем

Если коэффициенты линейной системы дифференциальных уравнений при

стремятся к постоянным, то иногда возможно охарактеризовать поведение решений.

Здесь рассматривается проблема для действительного переменного. Рассмотрим пример

где v – действительная дифференцируемая функция, для которой

, r – интегрируемая функция и

,

для некоторого t₀. (На самом деле достаточно, чтобы функция v имела в интервале

ограниченную вариацию.) Без ограничения общности можно в дальнейшем предполагать, что t₀ = 0. Из доказанной ниже теоремы следует, что рассматриваемое уравнение имеет два решения φ и ψ, такие, что

при

, а ψ имеет аналогичное поведение с заменой i на –i.

Этот результат показывает, что функция r нисколько не влияет на грубую асимптотику. Однако случай

(0 < α < 1)

убеждает нас в том, что влияние v существенно. Эти асимптотические формулы показывают также, что если положить в уравнении функцию r(t) равной нулю, а 1 + v(t) – постоянной, то результат будет отличаться от точного только членом о(1) при

.

В дальнейшем будет рассматриваться линейная система

(8.1)

которая включает как частный случай предыдущий пример.

Теорема 8.1. Пусть А – постоянная матрица с различными характеристическими корнями μ_j, j = 1, …, n. Пусть матрица V дифференцируема и удовлетворяет условию

(8.2)

и пусть

при . Пусть матрица R интегрируема и

. (8.3)

Обозначим корни уравнения det (A + V(t) - λE) = 0 через λ_j(t), j = 1, …, n. Очевидно, что можно, если это необходимо, переставить μ_j так, чтобы

. Для каждого k положим

Допустим, что все j, 1

j n, попадают в один из двух классов I₁ и I₂, где

, если при

и

, (8.4)

, если ; (8.5)

здесь kфиксировано и К – постоянная. Пусть p_k – характеристический вектор А, соответствующий μ_k, так что

Аp_k = μ_k p_k. (8.6)

Тогда существует решение φ_k системы (8.1) и число t₀, 0

t₀ , такие, что

(8.7)

Доказательство. Если условия теоремы выполняются для всех k, 1

k n, и Ф – матрица со столбцами φ₁, …, φ_n, то Ф – фундаментальная матрица, так как det Ф(t) 0 для больших t, ибо p_k линейно независимы.

Предположим в начале, что А + V(t) для t

t₀ имеет диагональный вид А(t) причем t₀ выбрано так, что

(8.8)

Пусть Ψ(t) – диагональная матрица:

Ψ(t) =

так что

(8.9)

Пусть е^К - вектор-столбец со всеми нулевыми элементами, за исключением k-го, который равен 1, и ψ_k – вектор, определенный равенством

При фиксированном k и I₁, I₂, определенных согласно неравенствам (8.4), (8.5), положим

Ψ = Ψ₁ + Ψ₂,

где диагональные матрицы Ψ₁ и Ψ₂ содержат элементы Ψ, соответствующие столбцам с индексами j, принадлежащим соответственно I₁ и I₂. Тогда

(j = 1, 2). (8.10)

Рассмотрим теперь уравнение

(8.11)

Можно непосредственно проверить, что если уравнение (8.11) имеет решение φ, то

= (A + R) φ. (8.12)

Последнее уравнение имеет рассматриваемый нами вид (8.1)

Пусть φ⁰(t) = 0 и

(8.13)

Тогда φ¹(t) = ψ^k(t) и для t

t₀

(8.14)

Каждый элемент диагональной матрицы

имеет вид

или равен нулю. Но для t₀

τ t

Поэтому для t₀

τ t

Точно также для τ

t получим

Используя эти неравенства, получаем из (8.13)

Из (8.8) и (8.14) теперь по индукции следует

Отсюда следует равномерная сходимость последовательности {φ^j} на каждом конечном подинтервале интервала [t₀,

). Так как φ^jнепрерывно, то предельная функция φ также непрерывна и, очевидно,

(8.15)

Покажем теперь, что

(8.16)