Мономиальные динамические системы (стр. 3 из 4)

Видно что

– линейное преобразование - элемента. Но можно рассматривать его, как линейное преобразование для - элемента, рассматривая как конечное кольцо, которое обозначим – . То есть, имеется линейное преобразование .

Это доказывает следующую лемму.

Лемма 1.2.2.

- коммутативная диаграмма.

Обратим внимание, что вертикальные стрелки – изоморфизмы. Это значит, что они сохраняют фазовое пространство структуры, включая длину конечных циклов. В частности, имеется следующее следствие.

Следствие 1.2.3.

Фазовое пространство

изоморфно к подграфу фазового пространства , состоя из всех наборов с базисным вектором .

Пример 1.2.2.

Для мономиальной системы

в примере 1.2.1, определим , где

.

Рассчитаем переходы в фазовом пространстве

.

000 -

,

001 -

,

010 -

,

011 -

,

100 -

,

101 -

,

110 -

,

111 -

.

Фазовое пространство

изображено на рисунке 1.2.3.

Рис. 1.2.3. Фазовое пространство

.

Теорема 1.2.1.

Пусть

– мономиальная динамическая система. Тогда – система конечных элементов тогда, и только тогда, когда и – системы конечных элементов.

Доказательство.

Из следствий 1.2.1 и 1.2.3, если

– система конечных элементов, то и тоже системы конечных элементов. Для доказательства от противного, предположим что и – системы конечных элементов, а – нет. Для каждого конечного цикла , любой из двух связанных наборов имеет все координаты ненулевые, или все наборы имеют минимум одну нулевую координату. В первом случае из этого следует, что имеет конечный цикл, той же длины. Следовательно, если имеет конечный цикл длины большей чем , тогда включаются только наборы имеющие минимум одну нулевую координату.

Пусть

– наборы в конечном цикле. Так как этот конечный цикл должен отображать конечный элемент для из этого следует, что имеет тот же самый базисный вектор, то есть, тот же самый образец нулевых вхождений, и отличается только в ненулевых координатах. Кроме того, мономы в ненулевых координатах не включают никакие переменные, соответствующие нулевым координатам. Таким образом, если построить новый набор , заменяя каждый в , на , – будет частью конечного цикла длины, по крайней мере , что является противоречием. Это доказывает теорему.

1.3 Линейные системы над конечными коммутативными кольцами

Теорема в предыдущей части показывает что для того чтобы решить, будет ли данная мономиальная система

, над конечной областью , системой с конечными элементами, достаточно решить этот вопрос для связанных булевых систем, для которых определена линейная система над конечным кольцом . Поэтому остаётся развить критерий для линейных систем над конечными коммутативными кольцами, для того чтобы решить будет ли система – системой конечных элементов. Здесь мы сведем общий случай к имеющему первичную мощность.

Путь

для взаимно простых целых чисел и , и пусть –линейная система для размерности . Выбрав изоморфизм получим, что – изоморфно к произведению , где и – линейные системы над и , соответственно. Используя факт того, что фазовое пространство является прямым произведением тогда, когда ориентированы графы фазовых пространств для и , мы получаем следующий результат.

Предположение 1.3.1.

Пусть

для взаимно простых целых чисел и , и пусть – линейная система над размерности . Пусть и – линейные преобразования над и , соответственно. Тогда – система конечных элементов тогда, и только тогда, когда и – системы конечных элементов.