Мономиальные динамические системы (стр. 4 из 4)
Имея цель развить критерий для изучения систем конечных элементов, достаточно изучить линейные системы над кольцами вида
для простых чисел 
. Следующая теорема обеспечивает критерий для дальнейшего решения проблемы с линейной системой над областью простых чисел 
.Теорема 1.3.1.
Пусть
– линейное отображение, и пусть 
– проекционное отображение 
на . Тогда 
, где 
. Тогда фазовое пространство – изоморфно подграфу фазового пространства .Доказательство.
Пусть
определяется 
. Тогда легко проверить что 
, так как 
– линейные отображения для всех 
. Поэтому, прямо проверяется что 
тогда, и только тогда, когда 
, и, следовательно, фазовое пространство изоморфно подграфу фазового пространства .Следствие 1.3.1.
Пусть
– линейное отображение, и пусть – проекционное отображение на . Если не является системой конечных элементов, тогда – не является системой конечных элементов.Пример 1.3.1.
Пусть
определяется 
. Тогда 
. 
- состоит из всех возможных наборов длины 2 из четырёх элементов: 0, 1, 2,3.Это наборы:
Используя функцию
, определим переходы в фазовом пространстве .00 -
,01 -
,02 -
,03 -
,10 -
,11 -
,12 -
,13 -
,20 -
,21 -
,22 -
,23 -
,30 -
,31 -
,32 -
,33 -
.Так как
, переходы в фазовом пространстве определены следующим образом.00 -
,01 -
,10 -
,11 -
.Фазовые пространства
и изображены на рисунках 1.3.1 и 1.3.2, соответственно. 
Рис. 1.3.1. Фазовое пространство
. 
Рис. 1.3.2. Фазовое пространство
.ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Результат позволяет изучить динамику линейных систем над конечными кольцами, в частности для нахождения критерия для линейной системы быть системой конечных элементов. Также обеспечивается алгоритм решения того, чтобы мономиальная система над произвольной конечной областью была системой конечных элементов. Однако, пока, трудно изучается даже динамика линейных систем над кольцам вида
, из-за недостатка уникальной факторизации в полиномиальном кольце 
.СПИСОКИСПОЛЬЗОВАННЫХИСТОЧНИКОВ
1. Colon-Reyes O., Jarrah A., Laubenbacher R., Sturmfels B. Monomial dynamical systems over finite fields// Complex Systems. 2006. Том 16, стр. 333-342.