Локальные формации с метаабелевыми группами (стр. 10 из 16)
Отсюда следует, что
– 
-группа.Лемма5.1. Пусть 
– некоторая неприводимая абелева группа автоморфизмов -группы и 
. Тогда – циклическая группа порядка, делящего 
. Кроме того, 
– наименьшее натуральное число, удовлетворяющее сравнению 
.
Доказательство. Будем считать, что
– аддитивная абелева группа. Тогда можно рассматривать как правое векторное пространство размерности над полем 
из элементов. Пусть 
– коммутативное подкольцо кольца 
, порожденное элементами и . Ввиду условия является неприводимым правым -модулем (определения, связанные с -модулями, см. у Кэртиса и Райнера [1]). По лемме Шура, 
– тело. Так как коммутативно, то 
. Легко видеть, что множество всех ненулевых элементов из замкнуто относительно операции умножения и, следовательно, является группой. Поэтому – поле. Так как -модуль неприводим, то 
для любого ненулевого 
; но тогда отображение 
, является -гомоморфизмом -модуля на . Так как ядро 
есть идеал поля , то – изоморфизм. Следовательно, 
. Известно, что мультипликативная группа конечного поля циклическая. Поэтому циклическая и 
делит .Пусть
– наименьшее натуральное число, удовлетворяющее сравнению 
. Тогда делит . Хорошо известно, что поле порядка 
содержит подполе 
порядка 
. Так как циклическая группа содержит точно одну подгруппу каждого возможного порядка и делит 
, то 
. Но тогда 
и 
. Лемма доказана.10. Формация
. Пусть 
– непустая формация, 
– такой локальный экран, что 
для любого простого . Применяя следствие 7.1.1 можно увидеть, что – экран формации . В частности, формации 
и 
являются локальными формациями.Пусть
– локальный экран некоторой подформации 
из . Применяя леммы 3.3 и 4.3, видим, что 
является локальным -экраном формации . Таким образом, каждая локальная подформация формации имеет внутренний локальный -экран. В частности, любая локальная подформация формации имеет внутренний локальный 
-экран.Локальные формации с заданными свойствами
Пусть
– некоторая операция, – локальный экран формации . Естественно возникают два вопроса:1) Будет ли
-замкнутой, если 
-замкнута для любого простого ?2) Будет ли
-замкнутой для любого простого , если -замкнута?Мы дадим положительный ответ на эти вопросы в некоторых конкретных случаях.
Теорема Слепова 1Пусть 
– некоторый класс групп, – максимальный внутренний локальный экран формации , – фиксированное простое число. Тогда справедливы следующие утверждения: