Локальные формации с метаабелевыми группами (стр. 11 из 16)

1) если

, то ;

2) если

, то .

Доказательство. Будем доказывать оба утверждения одновременно. Пусть

– одна из операций , . Предположим, что . Пусть – (нормальная) подгруппа группы и . Рассмотрим регулярное сплетение , где , – элементарная абелева -группа. По лемме 3.11 . Так как , то . Рассмотрим главный ряд группы :

Пусть

. Так как и , то

для любого

. Следовательно, , где . По свойству регулярного сплетения . Следовательно, , и по лемме 3.10 () подгруппа является -группой. Так как и формация является по теореме 3.3 -замкнутой, то мы получаем, что . Теорема доказана.

Теорема Подуфалова, Слепова 2Пусть

– максимальный внутренний локальный экран формации

. Формация

-замкнута (

-замкнута) тогда и только тогда, когда для любого простого

формация

-замкнута (соответственно

-замкнута).

Доказательство. Необходимость. Предположим, что

-замкнута ( -замкнута). Полагая и применяя теорему , мы получаем, что -замкнута ( -замкнута) для любого простого .

Достаточность. Пусть для любого простого

формация является -замкнутой ( -замкнутой). Пусть – подгруппа (нормальная подгруппа) неединичной группы . Покажем, что . Так как , то обладает -центральным главным рядом

Пусть

. Так как

то

, где . Пусть . По условию и . Отсюда, ввиду , вытекает, что . Тем самым установлено, что ряд

является

-центральным рядом группы . Теорема доказана.

Для любого натурального числа

-замкнутый класс содержит, по определению, каждую группу , представимую в виде произведения нормальных -подгрупп. Ослабляя это требование, мы приходим к следующему определению.

Определение. Класс групп

назовем слабо

-замкнутым, , если содержит всякую группу , имеющую нормальных -подгрупп с попарно взаимно простыми индексами.

Легко заметить, что если

и – подгруппы группы причем и взаимно просты, то .

Теорема Слепова 3Пусть

– локальный экран формации

и пусть для некоторого натурального числа

выполняется следующее условие: для любого простого

формация

либо совпадает с

, либо входит в

и является слабо

-замкнутой. Тогда

слабо

-замкнута.