1) если
, то ;2) если
, то .Доказательство. Будем доказывать оба утверждения одновременно. Пусть
– одна из операций , . Предположим, что . Пусть – (нормальная) подгруппа группы и . Рассмотрим регулярное сплетение , где , – элементарная абелева -группа. По лемме 3.11 . Так как , то . Рассмотрим главный ряд группы :Пусть
. Так как и , тодля любого
. Следовательно, , где . По свойству регулярного сплетения . Следовательно, , и по лемме 3.10 () подгруппа является -группой. Так как и формация является по теореме 3.3 -замкнутой, то мы получаем, что . Теорема доказана.Теорема Подуфалова, Слепова 2Пусть – максимальный внутренний локальный экран формации . Формация -замкнута ( -замкнута) тогда и только тогда, когда для любого простого формация -замкнута (соответственно -замкнута).
Доказательство. Необходимость. Предположим, что
-замкнута ( -замкнута). Полагая и применяя теорему , мы получаем, что -замкнута ( -замкнута) для любого простого .Достаточность. Пусть для любого простого
формация является -замкнутой ( -замкнутой). Пусть – подгруппа (нормальная подгруппа) неединичной группы . Покажем, что . Так как , то обладает -центральным главным рядомПусть
. Так както
, где . Пусть . По условию и . Отсюда, ввиду , вытекает, что . Тем самым установлено, что рядявляется
-центральным рядом группы . Теорема доказана.Для любого натурального числа
-замкнутый класс содержит, по определению, каждую группу , представимую в виде произведения нормальных -подгрупп. Ослабляя это требование, мы приходим к следующему определению.Определение. Класс групп
назовем слабо -замкнутым, , если содержит всякую группу , имеющую нормальных -подгрупп с попарно взаимно простыми индексами.Легко заметить, что если
и – подгруппы группы причем и взаимно просты, то .Теорема Слепова 3Пусть – локальный экран формации и пусть для некоторого натурального числа выполняется следующее условие: для любого простого формация либо совпадает с , либо входит в и является слабо -замкнутой. Тогда слабо -замкнута.