Локальные формации с метаабелевыми группами (стр. 12 из 16)

Доказательство. Предположим, что теорема неверна. Тогда существуют группы, не входящие в

, но имеющие нормальных -подгрупп с попарно взаимно простыми индексами. Выберем среди всех таких групп группу наименьшего порядка. Таким образом, не принадлежит , но имеет нормальные -подгруппы с попарно взаимно простыми индексами. Ясно, что все подгруппы неединичны.

Пусть

– минимальная нормальная подгруппа группы . В подгруппы имеют попарно взаимно простые индексы и принадлежат . Так как для теорема верна, то . Ясно, что – единственная минимальная нормальная подгруппа группы , причем и для любого . Ввиду теоремы 4.3 . Так как , то найдется такое , что . Рассмотрим , где пробегает все -главные факторы группы . Так как , то , . Возможны два случая.

Случай 1. Пусть

. Тогда неабелева и . Отсюда и из единственности вытекает, что . Но тогда и, следовательно, можно рассматривать как некоторую группу автомор – физмов группы , действующую тождественно на всех -главных факторах группы . По хорошо известной теореме Ф. Холла нильпотентна. Так как к тому же нормальна в , то . Но тогда для любого , а так как формация слабо -замкнута по условию, то . Но тогда , так как и по условию . Получили противоречие.

Случай 2. Пусть

. Тогда входит в и является -группой. Так как , то абелева. Пусть – максимальная подгруппа группы , не содержащая . Тогда , , , . Отсюда, ввиду единственности , заключаем, что , a значит, . По лемме 3.10 является -группой. Но тогда и является -группой, причем . Мы получаем, таким образом, что для любого . Но тогда , так как слабо -замкнута. Последнее означает, что -центральна в , что противоречит равенству . Снова получили противоречие.

Теорема доказана.

Следствие 4Пусть группа

имеет две нормальные

-сверхразрешимые подгруппы, индексы которых взаимно просты. Тогда

-сверхразрешима.