Локальные формации с метаабелевыми группами (стр. 13 из 16)

Для того чтобы получить это следствие, достаточно заметить, что построенный экран удовлетворяет условию теоремы при

.

Следствие 5Пусть группа

имеет две нормальные сверхразрешимые подгруппы, индексы которых взаимно просты. Тогда

сверхразрешима.

Теорема Слепова 6Пусть формация

имеет такой локальный экран

, что для любого простого

формация

либо совпадает с

, либо входит в

и является

-замкнутой. Тогда

-замкнута.

Доказательство. Повторяем с очевидными изменениями доказательство теоремы .

Теорема Слепова 7Пусть

– максимальный внутренний локальный экран формации

. Формация

-замкнута (слабо

-замкнута,

) тогда и только тогда, когда для любого простого

формация

-замкнута (соответственно слабо

-замкнута).

Доказательство. Достаточность вытекает из теорем и . Пусть

-замкнута (слабо -замкнута, ). Пусть , где – нормальные -подгруппы (нормальные -подгруппы с попарно взаимно простыми индексами). Так как , то . Покажем, что .

Пусть

, где , – элементарная абелева -группа. По лемме 3.11 для любого . Так как -замкнута (слабо -замкнута), то отсюда вытекает, что . Если – пересечение централизаторов в всех -главных факторов группы , то

Так как

, то по лемме 3.10 подгруппа является -группой. Но тогда , так как по теореме 3.3 имеет место равенство .

Теорема доказана.

Лемма Чунихин 8Пусть

,

,

. Тогда

. В частности, если

и

, то

непростая.

Доказательство. Из равенства

следует, что

Следовательно,

. Отсюда, ввиду для любого , получаем . Лемма доказана.

Теорема Виландт 9Группа

разрешима, если она имеет три разрешимые подгруппы, индексы которых в

попарно взаимно просты.

Доказательство. Пусть группа

имеет разрешимые подгруппы , и с попарно взаимно простыми индексами. Тогда . Пусть – минимальная нормальная подгруппа из . Так как разрешима, то , – простое число. Ввиду условия теоремы, не делит одновременно и . Пусть, для определенности, не делит . Это значит, что силовская -подгруппа из является силовской -подгруппой группы . Ввиду теоремы Силова , где . Так как и , то по лемме . Таким образом, – неединичная разрешимая нормальная подгруппа группы . В фактор-группе индексы подгрупп , и попарно взаимно просты. По индукции разрешима, но тогда и разрешима. Теорема доказана.