Для того чтобы получить это следствие, достаточно заметить, что построенный экран удовлетворяет условию теоремы при
.Следствие 5Пусть группа имеет две нормальные сверхразрешимые подгруппы, индексы которых взаимно просты. Тогда сверхразрешима.
Теорема Слепова 6Пусть формация имеет такой локальный экран , что для любого простого формация либо совпадает с , либо входит в и является -замкнутой. Тогда -замкнута.
Доказательство. Повторяем с очевидными изменениями доказательство теоремы .
Теорема Слепова 7Пусть – максимальный внутренний локальный экран формации . Формация -замкнута (слабо -замкнута, ) тогда и только тогда, когда для любого простого формация -замкнута (соответственно слабо -замкнута).
Доказательство. Достаточность вытекает из теорем и . Пусть
-замкнута (слабо -замкнута, ). Пусть , где – нормальные -подгруппы (нормальные -подгруппы с попарно взаимно простыми индексами). Так как , то . Покажем, что .Пусть
, где , – элементарная абелева -группа. По лемме 3.11 для любого . Так как -замкнута (слабо -замкнута), то отсюда вытекает, что . Если – пересечение централизаторов в всех -главных факторов группы , тоТак как
, то по лемме 3.10 подгруппа является -группой. Но тогда , так как по теореме 3.3 имеет место равенство .Теорема доказана.
Лемма Чунихин 8Пусть , , . Тогда . В частности, если и , то непростая.
Доказательство. Из равенства
следует, чтоСледовательно,
. Отсюда, ввиду для любого , получаем . Лемма доказана.Теорема Виландт 9Группа разрешима, если она имеет три разрешимые подгруппы, индексы которых в попарно взаимно просты.
Доказательство. Пусть группа
имеет разрешимые подгруппы , и с попарно взаимно простыми индексами. Тогда . Пусть – минимальная нормальная подгруппа из . Так как разрешима, то , – простое число. Ввиду условия теоремы, не делит одновременно и . Пусть, для определенности, не делит . Это значит, что силовская -подгруппа из является силовской -подгруппой группы . Ввиду теоремы Силова , где . Так как и , то по лемме . Таким образом, – неединичная разрешимая нормальная подгруппа группы . В фактор-группе индексы подгрупп , и попарно взаимно просты. По индукции разрешима, но тогда и разрешима. Теорема доказана.