Смекни!
smekni.com

Локальные формации с метаабелевыми группами (стр. 14 из 16)

Следуя Крамеру, введем следующее определение.

Определение. Класс групп

называется
-замкнутым
(
– натуральное число), если
содержит всякую группу
, имеющую
-подгрупп, индексы которых в
при
попарно взаимно просты.

По определению, пустая формация

-замкнута для любого
. Единственной
-замкнутой непустой формацией, отличной от
, условимся считать
.

Лемма 10Пусть

и
-замкнутые классы групп. Тогда
также
-замкнут.

Доказательство очевидно.

Следующая лемма доказана Крамером.

Лемма 11Пусть формация

содержится в
и
-замкнута,
. Тогда формация
является
-замкнутой.

Доказательство. Пусть группа

имеет
-подгруппы
,
,…,
, индексы которых в
попарно взаимно просты. Так как
, то по теореме группа
разрешима. При любом гомоморфизме группы
образы подгруппы
принадлежат
и имеют попарно взаимно простые индексы. Поэтому можно считать, что
-корадикал
группы
является ее единственной минимальной нормальной подгруппой. Ясно, что
является
-группой для некоторого
. Подгруппа Фиттинга
группы
также является
-группой. Индекс любой подгруппы, не содержащей
, делится на
. Поэтому
содержится по крайней мере в
подгруппах нашей системы подгрупп
. Будем считать, что
,
. Так как
является
-группой, то
и
поэлементно перестановочны,
. Отсюда и из следствия вытекает, что
,
. Так как
, то мы получаем, что
,
. Воспользовавшись
-замкнутостью формации
, мы приходим к тому, что
.

Лемма доказана.

Теорема Крамер 12Пусть

– такой локальный
-экран формации
, что для любого простого
формация
-замкнута,
. Тогда
-зaмкнута.

Доказательство. Так как

-экран, то
для любого простого
, а значит,
. Пусть
. Ввиду леммы 4.5
. Если
, то
и
-замкнута; если же
, то по лемме формация
-замкнута. В любом случае
-замкнута. По лемме
-замкнута. Применяя лемму , мы видим, что и формация
-замкнута. Теорема доказана.