Локальные формации с метаабелевыми группами (стр. 2 из 16)

Из определения 1.4 следует, что произведение формаций

является пустой формацией тогда и только тогда, когда по крайней мере одна из формаций является пустой. Можно определить произведение нескольких формаций как результат последовательного умножения. Если задан упорядоченный набор формаций причем произведение уже определено, то В частности, если для любого то мы приходим к понятию степени

Понятие произведения формаций представляет интерес с точки зрения построения формаций.

Теорема 1.1. Произведение любых двух формаций также является формацией.

Лемма 1.3. Пусть

и

– нормальные подгруппы группы

. Тогда каждый главный фактор группы

-изоморфен либо некоторому главному фактору группы

, либо некоторому главному фактору группы

Доказательство вытекает из рассмотрения

-изоморфизма

Теорема 1.2. Пусть

– некоторая формация,

– класс всех тех групп, все главные факторы которых принадлежат

Пусть

– объединение формаций

Тогда

– подформация формации

Доказательство. Из леммы 1.3 выводим, что

– формация. Из теоремы 1.1 и леммы 1.1 вытекает, что класс является формацией. Если – минимальная нормальная подгруппа группы , то по индукции для некоторого натурального . Но тогда либо , либо – -корадикал группы . Так как , то отсюда вытекает, что , и теорема доказана.

Операции на классах групп

Определение 2.1. Всякое отображение множества всех классов групп в себя называется операцией на классах групп.

Операции мы будем обозначать, как правило, прямыми большими латинскими буквами. Результат операции

, примененной к классу обозначается через Степень операции определяется так: Произведение операций определяется равенствами:

Введем операции

следующим образом:

тогда и только тогда, когда вкладывается в качестве подгруппы в некоторую -группу;

тогда и только тогда, когда вкладывается в качестве нормальной подгруппы в некоторую -группу;

тогда и только тогда, когда является гомоморфным образом некоторой -группы;

тогда и только тогда, когда совподает с произведением некоторого конечного числа своих нормальных -подгрупп;

тогда и только тогда, когда имеет нормальные подгруппы такие, что

тогда и только тогда, когда является расширением -группы с помощью -группы;

тогда и только тогда, когда имеет нормальную подгруппу такую, что

Если

, то вместо пишут Обратим внимание на тот факт, что если – нормальные подгруппы группы , причем для любого , то Заметим еще, что операцию можно определить с помощью понятия подпрямого произведения. Напомним (см. Каргаполов и Мерзляков [1]), что подгруппа прямого произведения называется подпрямым произведением групп если проекция на совпадает с Легко видеть, что тогда и только тогда, когда есть подпрямое произведение некоторого конечного числа -групп.