Локальные формации с метаабелевыми группами (стр. 4 из 16)

Определение 2.4. Пусть

непустой -замкнутый класс, содержащий 1. Обозначим через и назовем - радикалом группы произведение всех ее нормальных -подгрупп.

Классы

являются радикальными. -радикал группы – это ее подгруппа Фиттинга -радикал обозначают иначе через и называют

-радикалом. -радикал называют разрешимым радикалом; понятны также термины

-нильпотентный радикал,

-замкнутый радикал и т.д. Класс всех -нильпотентных групп является одновременно радикальным и корадикальным; – это -нильпотентный радикал группы .

В дальнейшем мы будем изучать формации, замкнутые относительно тех или иных операций; в частности, будут рассматриваться радикальные формации, т.е. формации, являющиеся одновременно и классами Фиттинга. Сейчас мы обратимся к задаче построение формаций с помощью операций

Теорема 2.1. Пусть

и

– формации, причем либо

, либо

замкнута относительно нормальных подгрупп. Тогда

– формация, совпадающая с произведением

Определение 2.5. Пусть

– некоторое множество групп. Пусть – пересечение всех тех формаций, которые содержат класс называется формацией, порожденной множеством групп

Заметим, что операцию

часто обозначают иначе через Если то пишут вместо , причем в этом случае называют формацией, порожденной группой

.

Теорема 2.2. Для любого класса

имеет место равенство:

Доказательство. Если

, то , и утверждение верно. Пусть . Так как , то класс является -замкнутым. есть класс и по лемме 2.2. Используя это и леммы 2.3 и 2.4, получаем

Последнее означает

-замкнутость класса . Итак, – формация, содержащая , так как . Значит, . Обратное включение очевидно.

Лемма 2.5. Для любых элементов

группы

выполняются равенства

Если

– подгруппы группы

, то выполняются следующие утверждения:

1)

2)

для любого гомоморфизма группы ; в частности, если группа из нормализует и , то нормализует и

Лемма 2.6 Пусть

– подгруппа нильпотентной группы

, причем

. Тогда

Доказательство. Для того чтобы доказать лемму, достаточно установить, что при любом натуральном

выполняется включение:

При

это верно, так как , а значит, . Предположим, что включение (*) справедливо при некотором . Тогда, используя лемму 2.5, получаем

Тем самым (*) доказано.

Теорема 2.3 (Брайант, Брайс, Хартли [1]). Если

– такая подгруппа группы

, что

, то

Доказательство. Пусть

– нильпотентная нормальная подгруппа группы , а – такая подгруппа из , что . Докажем индукцией по , что . Это верно, если . Поэтому будем считать, что . Рассмотрим следующие подгруппы прямого произведения