Смекни!
smekni.com

Локальные формации с метаабелевыми группами (стр. 5 из 16)

Очевидно, подгруппа

нормализует
и
. Обозначим через
подгруппу группы
, порожденную подгруппами
. Поскольку проекции
на множители прямого произведения
равны
, то
. Заметим еще, что
, где
нормальна в
и нильпотентна как подпрямое произведение из
.

Пусть

– центр подгруппы
,
. Легко видеть, что
, причем
и
поэлементно перестановочны; аналогично,
и
поэлементно перестановочны. Но тогда
, абелева и нормальна в
. Если
, то
, где
, и если
, то
, что влечет
. Следовательно,
. Если
абелева, то
, и мы имеем

Предположим теперь, что

. Ясно, что
. Так как

то

нильпотентна ступени
. Так как
, то
изоморфна
и имеет ступень
, а потому согласно лемме 2.6 ее нормальное замыкание
в
имеет ступень
. Так как
нормализует
и
, то
нормальна в
. Итак,
, причем
. По индукции

Для группы

и ее нильпотентной нормальной подгруппы
ступени
теорема также верна по индукции. Поэтому

Теорема доказана.

Теорема 2.4. (Нейман [1]) Формация, порожденная разрешимой группой, содержит лишь конечное число подформаций.

Доказательство. Пусть

– подформация формации
. Если
, то по теореме 2.3 имеет место
, что и требуется.

Экраны

Недостатком понятия групповой функции

является то, что не всегда уплотнение
-центрального ряда нормальными подгруппами является
-центральным рядом.

Определение 3.1. Отображение

класса
всех групп в множество классов групп назовем экраном, если для любой группы
выполняются следующие условия:

1)

– формация;

2)

для любого гомоморфизма
группы
;

3)

.

Из условия 2) вытекает, что экран

принимает одинаковое значение на изоморфных группах, т.е. является групповой функцией в смысле определения 3.1. Кроме того, видно, что если
– экран, то каждый f-центральный ряд после удаления повторений может быть уплотнен до f-центрального главного ряда, а значит, класс групп, обладающих f-центральными рядами, совподает с формацией
.

Лемма 3.1. Пусть

– экран,
– группа операторов группы
,
– некоторая нормальная
-допустимая подгруппа из
. Если
обладает нормальным
-допустимым рядом, факторы которого
-центральны относительно
, то один из таких рядов проходит через
.