Смекни!
smekni.com

Локальные формации с метаабелевыми группами (стр. 6 из 16)

Доказательство. Пусть дан ряд, удовлетворяющий условию леммы:

Пусть

. Тогда ряд


будет искомым. В этом нетрудно убедиться, используя определение экрана и

-изоморфизмы:

Лемма 3.2. Справедливы следующие утверждения:

1) пересечение любого непустого множества экранов также является экраном;

2) объединение любой непустой цепи экранов также является экраном.

Доказательство. Первое утверждение очевидно. Пусть непустое множество экранов

является цепью, т.е. линейно упорядочено (с отношением частичной упорядоченности
, введенным в определении 3.5). Тогда для любой группы
множество формаций
линейно упорядочено относительно включения, а следовательно, ввиду леммы 1.1 объединение
является формацией. Тем самым лемма доказана.

Определение 3.2. Экран

назовем:

1) p-однородным, если он p-постоянен и для любой группы

и ее силовской p – подгруппы
имеет место
;

2) однородным, если он p-однороден для любого простого p;

3) локальным, если он является локальной групповой функцией;

4) композиционным, если для любой группы

имеет место
, где
пробегает все крмпозиционные факторы группы

5) пустым, если

для любой неединичной группы
;

6)

-экраном, если

для любой группы
.

-экран при
будем называть единичным экраном.

Легко видеть, что каждый локальный экран является однородным, а каждый композиционный экран является примарно постоянным.

Пример 3.1. Пусть

и
– непустые формации, причем
, а групповая функция
такова, что
для каждой нееденичной примарной группы
и
для любой непримарной группы
. Тогда
– однородный экран, не являющийся ни локальным, ни композиционным.

Пример 3.2. Пусть

– непустая формация, а групповая функция
такова, что для любой нееденичной группы
выполняются условия:

1)

, если
не имеет абелевых композиционных факторов;

2)

, если
имеет хотя бы один абелев композиционный фактор.

Тогда

– композиционный экран, не являющийся однородным.

Замечание 1. Локальный экран полностью определяется своими значениями на примарных подгруппах. Поютому, чтобы построить локальный экран

, достаточно каждому простому числу
поставить в соответствие некоторую формацию
, а затем для любой группы
положить
, где
пробегает
.

Замечание 2. Чтобы построить композиционный экран

, нужно каждой простой группе
поставить в соответствие некоторую формацию
, а затем для любой группы
положить
, где
пробегает все композиционные факторы группы
.

Лемма 3.3. Справедливы следующие утверждения: 1) пересечение любого непустого множества однородных экранов снова является однородным экраном;

2) пересечение любого непустого множества локальных экранов снова является локальным экраном;

3) пересечение любого непустого множества композиционных экранов снова является композиционным экраном.

Доказательство. Пусть экран

является пересечением множества экранов
. Предположим, что все экраны
являются локальными, т.е. для любых
и
имеет место равенство:


где

пробегает все примарные подгруппы группы
. Тогда

а значит,

– локальный экран.

Лемма 3.4. Объединение любой непустой цепи примарно постоянных экранов является примарно постоянным экраном.

Доказательство. Пусть

– некоторая цепь экранов,
– ее объединение,
. По лемме 3.3 функция
является экраном, причем ясно, что примарная постоянность
влечет примарную постоянность экрана
. Предположим, что все
являются однородными экранами. Тогда, если
– любая группа и
, то
. Следовательно,