Локальные формации с метаабелевыми группами (стр. 7 из 16)
что и доказывает однородность экрана
.Экраны формаций
Каждой групповой функции
соответствует формация 
.Лемма 3.5. является непустой формацией для любой групповой функции .
Определение 3.3. Пусть
– некоторая формация. Если – такой экран, что 
, то формация называется ступенчатой формацией, причем в этом случае будем говорить, что – экран формации , имеет экран ,экран
определяет формацию , определяется экраном .Формация
имеет единичный экран. Единичная формация 
имеет пустой экран.Определение 3.4. Экран
назовем внутреним, если – внутреняя групповая функция, т.е. 
для любой неединичной группы 
.Лемма 3.6. Каждая ступенчатая формация имеет по крайней мере один внутрений экран.
Доказательство. Пусть
– экран формации . Определим функцию 
следующим образом: 
для любой группы 
. Легко видеть, что – экран, причем 
. Если 
и 
– главный фактор группы , то 
. Так как класс 
-замкнут, то 
, а значит, -централен в . Таким образом, 
. Итак, 
, т.е. – искомый внутренний экран.Лемма 3.7. Пусть 
– экран формации 
. Тогда 
является экраном формации 
.
Доказательство. Пусть
– произвольный главный фактор группы . Пусть 
. Так как 
, то 
. Значит, 
, т.е. -централен в . Отсюда следует, что 
.Обратно, если
, то главный ряд группы будет -центральным для любого 
, т.е. . Итак, 
.Лемма 3.8. Пересечение любого непустого множества 
экранов формации снова является экраном формации . Кроме того, если в имеется хотя бы один внутрений экран, то – внутрений экран.
Доказательство. То, что
– экран формации , непосредственно следует из леммы 3.7. Пусть в имеется внутренний экран . Тогда 
для любой группы . Значит, – внутренний экран.Формация с однородным экраном
Теорема 3.1. (Шеметков) Всякая формация, имеющая по крайней мере один однородный экран, является локальной формацией.
Доказательство. Пусть формация
имеет однородный экран. Ввиду леммы 3.6 формация имеет внутренний однородный экран . Построим локальный экран , удовлетворяющий следующему условию: 
для любого простого 
. Тогда 
и, следовательно, . Предположим, что формация обладает группами, не входящими в , и выберем среди всех таких групп группу , имеющую наименьший порядок. Тогда 
является единственной минимальной нормальной подгруппой группы . Так как , то для любого 
имеет место 
Если
неабелева, то 
и . Если же – -группа, то получается, что -центральна в . А это противоречит тому, что . Теорема доказана.