Локальные формации с метаабелевыми группами (стр. 8 из 16)

Локальная формация

Неединичная формация, имеющая локальный экран, содержит некоторые неединичные примарные группы.

Определение 4.1. Формация

называется локальной, если она имеет хотя бы один локальный экран.

Определение 4.2. Пусть

– внутренний локальный экран формации , являющийся максимальным элементом множества всех внутренних локальных экранов формации . Тогда называется максимальным внутренним локальным экраном формации .

Теорема 4.1. (Картер и Хоукс [1], Шмид [5]). Локальная формация

имеет единственный максимальный внутренний локальный экран

, причем

удовлетворяет следующему условию:

для любого простого числа p.

Определение 4.3. Пусть

– локальная формация. Минимальный элемент множества всех локальных экранов формации назавем минимальным локальным экраном формации .

Теорема 4.2. Локальная формация имеет единственный минимальный локальный экран, который является к тому же внутренним экраном.

Доказательство. Пусть

– множество всех локальных экранов формации , причем . Обозначим через пересечение множества экранов . В множестве имеется внутренний экран, поэтому – внутренний экран формации . По лемме 3.4 экран является локальным. Ввиду леммы 3.8 – искомый экран.

Построение локальных формаций

1. Формация всех групп. Формация

обладает локальным экраном таким, что для любого простого .

2. Формация единичных групп. Формация

имеет пустой экран, который, очевидно, локален.

3. Формация нильпотентных

-групп. Пусть – формация всех нильпотентных -групп, – такой локальный экран, что для любого для любого . Очевидно, – минимальный локальный экран формации .

4. Формация

-групп. Пусть – формация всех -групп, – такой локальный экран, что для любого для любого . Очевидно, – макcимальный внутрений локальный экран формации .

5. Формация

-нильпотентных групп. Пусть – формация всех -нильпотентных групп ( – фиксированное простое число), – такой локальный экран, что для любого простого числа , отличного от . Покажем, что – экран формации . Главный ряд -нильпотентной группы -централен. Пусть . Нужно установить, что -нильпотентна. Пусть – минимальная нормальная подгруппа группы . По индукции -нильпотентна. Если – -группа, то отсюда следует, что и -нильпотентна. Если же -группа, то , т.е. . Если теперь – -подгруппа из , то ввиду подгруппа -нильпотентна, а значит, и -нильпотентна. Тем самым показано, что .

Теорема 5.1. В любой

-группе

подгруппа

совпадает с пересечением централизаторов в

всех главных

-факторов группы

.