Смекни!
smekni.com

Локальные формации с метаабелевыми группами (стр. 9 из 16)

Следствие 5.1.1. В любой группе

подгруппа Фиттинга
совпадает с пересечением централизаторов в
всех главных факторов группы
.

Следствие 5.1.2. Для любой

-разрешимой группы
имеет место включение
.

Следствие 5.1.3. (Фиттинг).

для любой разрешимой группы
.

Следствие 5.1.4. (Чунихин [3]). Коммутант

-сверхразрешимой группы
-нильпотентен.

6. Формация

-замкнутых групп. Пусть
– формация всех
-замкнутых групп (
– некоторое фиксированное множество простых чисел),
– такой локальный экран, что
для любого
для любого
. Покажем, что
– экран формации
.

Очевидно,

. Предположим, что класс
не пуст, и выберем в нем группу
наименьшего порядка. Тогда
имеет единственную минимальную нормальную подгруппу
, причем
не является
-группой. Пусть
. Так как
, то
, а значит,
. Поэтому
– абелева
-группа. Так как
-замкнута, то и
-замкнута, т.е.
имеет нормальную
-подгруппу
. Ясно, что
. Так как
, то
. Легко видеть, что
, а значит, и группа
-замкнута. Тем самым показано, что
.

7. Формация

-дисперсивных групп. Пусть
– некоторое линейное упорядочение множества всех простых чисел,
– формация всех
-дисперсивных групп. Покажем, что
локальна.

Рассмотрим всевозможные множества

простых чисел, обладающие следующим свойством:
для всех
. Пусть
– формация всех
-замкнутых групп. Очевидно,
. Так как формации
локальны, то по лемме 3.4 формация
также является локальной.

8. Формация

-разрешимых групп. Пусть
– формация всех
-разрешимых групп,
– такой локальный экран, что
для любого простого
. Нетрудно заметить, что
– максимальный внутрений локальный экран формации
. В частности, формация
является локальной.

9. Формация

-сверхразрешимых групп. Пусть
– формация всех
-сверхразрешимых групп. Обозначим через
формацию всех абелевых групп экспоненты, делящей
. Построим локальный экран
такой, что
для любого
для любого
. Покажем, что
. Ясно, что
. Пусть
,
– минимальная нормальная подгруппа группы
. По индукции
. Если
-группа, то
-сверхразрешима. Пусть порядок
делится на некоторое число
. Тогда, если
, то