Локальные формации с метаабелевыми группами (стр. 9 из 16)

Следствие 5.1.1. В любой группе

подгруппа Фиттинга

совпадает с пересечением централизаторов в

всех главных факторов группы

.

Следствие 5.1.2. Для любой

-разрешимой группы

имеет место включение

.

Следствие 5.1.3. (Фиттинг).

для любой разрешимой группы

.

Следствие 5.1.4. (Чунихин [3]). Коммутант

-сверхразрешимой группы

-нильпотентен.

6. Формация

-замкнутых групп. Пусть – формация всех -замкнутых групп ( – некоторое фиксированное множество простых чисел), – такой локальный экран, что для любого для любого . Покажем, что – экран формации .

Очевидно,

. Предположим, что класс не пуст, и выберем в нем группу наименьшего порядка. Тогда имеет единственную минимальную нормальную подгруппу , причем не является -группой. Пусть . Так как , то , а значит, . Поэтому – абелева -группа. Так как -замкнута, то и -замкнута, т.е. имеет нормальную -подгруппу . Ясно, что . Так как , то . Легко видеть, что , а значит, и группа -замкнута. Тем самым показано, что .

7. Формация

-дисперсивных групп. Пусть – некоторое линейное упорядочение множества всех простых чисел, – формация всех -дисперсивных групп. Покажем, что локальна.

Рассмотрим всевозможные множества

простых чисел, обладающие следующим свойством: для всех . Пусть – формация всех -замкнутых групп. Очевидно, . Так как формации локальны, то по лемме 3.4 формация также является локальной.

8. Формация

-разрешимых групп. Пусть – формация всех -разрешимых групп, – такой локальный экран, что для любого простого . Нетрудно заметить, что – максимальный внутрений локальный экран формации . В частности, формация является локальной.

9. Формация

-сверхразрешимых групп. Пусть – формация всех -сверхразрешимых групп. Обозначим через формацию всех абелевых групп экспоненты, делящей . Построим локальный экран такой, что для любого для любого . Покажем, что . Ясно, что . Пусть , – минимальная нормальная подгруппа группы . По индукции . Если – -группа, то -сверхразрешима. Пусть порядок делится на некоторое число

. Тогда, если

, то