Локальные формации с метаабелевыми группами (стр. 1 из 16)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

«Гомельский государственный университет

имени Франциска Скорины»

математический факультет

кафедра алгебры и геометрии

Курсовая работа

"Локальные формации с метаабелевыми группами"

ГОМЕЛЬ 2006

Содержание

Введение

1 Формация. Произведение формаций

2 Операции на классах групп

3 Экраны

3.1 Экраны формации

3.2 Формация с однородным экраном

4 Локальная формация

5 Построение локальных формаций

6 Локальные формации с заданными свойствами

Заключение

Литература

Введение

Формации, т.е. классы групп, замкнутые относительно фактор-групп и подпрямых произведений, всегда находились в поле деятельности исследователей по теории конечных групп. Однако вплоть до 1963 г. формационное развитие теории конечных групп шло лишь по пути накопления фактов, относящихся к различным конкретным формациям, из которых наиболее популярными были формация разрешимых групп и ее подформации, составленные из абелевых, нильпотентных и сверхразрешимых групп.

В курсовой работе рассматривается произведение формаций, операции на классах групп, приводящие к формациям. Рассматриваются локальные формации и экраны. Рассматриваются простейшие свойства локальной формации всех групп с нильпотентным компонентом.

Формация. Произведение формаций

Определение 1.1 Классом групп называют всякое множество групп, содержащее вместе с каждой своей группой

и все группы, изоморфные .

Если группа (подгруппа) принадлежат классу

, то она называется -группой ( -подгруппой).

Определение 1.2. Класс групп

называется формацией, если выполняются следующие условия:

1) каждая фактор-группа любой группы из

также принадлежит ;

2) из

всегда следует .

Если формации

и таковы, что , то называется подформацией формации .

По определению, пустое множество является формацией (пустая формация). Множество

всех групп является, конечно, формацией. Единичная формация – это непустой класс групп, состоящий лишь из единичных групп. Формациями являются: класс всех -групп, класс всех абелевых групп, класс всех нильпотентных групп, класс всех -групп ( – фиксированное простое число), класс всех нильпотентных -групп, класс всех разрешимых групп, класс всех разрешимых -групп. Мы привели пока лишь примеры тех формаций, за которыми закреплены соответствующие обозначения.

Лемма 1.1. Справедливы следующие утверждения:

1) пересечение любого множества формаций также является формацией;

2) если

– некоторое множество формаций, линейно упорядоченное относительно включения , то объединение является формацией.

Доказательство осуществляется проверкой.

Определение 1.3. Пусть

– непустая формация. Обозначим через и назавем - корадикалом группы

пересечение всех тех нормальных подгрупп из , для которых .

Очевидно,

-корадикал любой группы является характеристической подгруппой. -корадикал группы обозначают иначе через и называют -корадикалом. -корадикал будем называть нильпотентным радикалом; понятны также термины разрешимый корадикал,

-разрешимый корадикал,

- сверхразрешимый корадикал и т.д. -корадикал (или абелев корадикал) – это коммутант группы. Так же как и коммутант, -корадикал сохраняется при гомоморфизмах.

Лемма 1.2. Пусть

– непустая формация,

. Тогда справедливы следующие утверждения:

1)

2) если

то

3) если

и , то

Доказательство. Пусть

. Тогда

Отсюда следует, что

. С другой стороны,

откуда получаем

. Из и следует равенство . Утверждение 1) доказано.

Пусть

– естественный гомоморфизм группы на Очевидно,

откуда следует равенство

. В частности, если , то . Лемма доказана.

Определение 1.4. Пусть

и – некоторые формации. Если , то положим Если , то обозначим через класс всех тех групп , для которых Класс называется произведением формаций

и

.