Параллельный перенос в пространстве Лобачевского (стр. 2 из 5)
Интересно то, что все эти три варианта изменения кривизны пространства нашли свое воплощение в общей теории относительности.
2 ОПИСАНИЕ ПРОСТРАНСТВА ЛОБАЧЕВСКОГО
Представим отрезок АB в прямоугольной системе координат (евклидово пространство). Его длина определится по теореме Пифагора как
(AВ)2 = (x2 - x1)2 + (у2 - у1)2, (1) где x1, x2, y1, y2 – проекции концов отрезка АВ на оси Х и Y, или(AB)2 = Dx2 + Dy2 . (2)
Для бесконечно малого расстояния между двумя точками принят символ ds. Поэтому, если точки А и В сближаются все больше и больше, можно написать
ds2 = dx2 + dy2 (3)Предположим, что система координат относительно начала координат О повернулась на некоторый угол α.
Обозначим новую систему координат как X'Y'. Тогда расстояние между точками, не изменившееся по величине, запишем как
ds2= dx' 2 + dy'2. (4)Поскольку при любом вращении или параллельном переносе координат величина расстояния не изменяется, она называется инвариантной относительно преобразования координат.Для косоугольной системы координат квадрат длины отрезка АВ, который называется в общем и строгом смысле квадратом интервала, запишем (на основе той же теоремы Пифагора) в виде
ds2= dx 2 + dy2 + 2 dxdy cos α(5)При этом, как можно видеть, численное значение интервала не изменяется, хотя формула для его выражения имеет более сложный вид, чем формула (3), т.е. и в данном случае интервал является инвариантом относительно замены координат.
Рассмотрим описание интервала в неевклидовой геометрии. Но чтобы лучше понять смысл этого описания, сравним геометрию двумерного пространства с геометрией двумерной сферы. В качественном отношении эти пространства одинаково однородны и изотропны, так как и в случае сферы все ее точки эквивалентны относительно поворотов осей координат или их параллельного переноса.
Введем сферическую систему координат. Она состоит из заданной фиксированной точки О, из произвольно ориентированной в пространстве прямой ρ, проходящей через центр О, из полуплоскостей, ограниченных этой прямой, из конических поверхностей с вершиной в точке О и прямой ρ в качестве оси и из сфер с центром в точке О. Прямая ρ как радиус есть параметр семейства сфер с центром О. Параметром семейства полуплоскостей является угол φ, который образует полуплоскость с так называемой полуплоскостью нулевого меридиана (аналогична географической долготе). Параметр семейства конических поверхностей – угол раствора θ, который измеряется между положительным направлением прямой ρ и образующей боковой поверхности конуса (полярный угол).
Выберем из семейства сфер, задаваемых параметром ρ, некоторую сферу радиусом r (ρ = r). Тогда координаты точки А на поверхности сферы определяются на основе сказанного следующим образом. Зафиксируем большой круг QQ', называемый экватором, и большой круг PР', называемый пулевым меридианом (Р и Р' – полюса). Большие полукруги сферы, исходящие из полюса Р, называются меридианами, малые круги, параллельные экватору, – долготами. Угол φ, т.е. угол между нулевым меридианом и меридианом точки A (азимутальный угол), отсчитываемый против часовой стрелки (долгота), и угол θ, отсчитываемый от полюса Р до долготы точки А (полярный угол), вполне задают координаты точки А. Аналогичным образом определяются координаты точки В. Тогда интервал между двумя бесконечно близкими точками А и В (элементарный интервал АВ) можно получить из выражения
ds2 = r2 sin2qdj2 + r2d q2. (6)
Выражение (6) никакими преобразованиями нельзя свести к простой формуле (3) одновременно для всей поверхности сферы. Такую операцию можно осуществить лишь локально, выбирая направление на бесконечно малом участке сферы, так чтобы Ðq = 90°, и это фиксирует систему координат применительно только к данному участку сферы. В целом же, глобально, сделать это невозможно, что отражает неевклидовость сферы.
Следующий шаг по пути обобщения представления пространственного интервала связан с его описанием на любой произвольной криволинейной поверхности. Из анализа сферической системы координат мы видим, что вводятся элементы, фиксирующие тот факт, что поверхность искривлена, т.е. углы и радиус, которые, однако, при минимальной значимой локализации (грубо говоря, “выпрямлении” кривизны, представлении каждой достаточно малой локальной области поверхности в виде плоскости) дают инвариантный интервал – интервал, не изменяющий своей величины при преобразовании координат.
Представим, что мы имеем координатные линии любого искривления, в наиболее простом виде – косоугольные (гауссовы) с двумя измерениями U и V. Тогда
ds2 = К du2+ 2L du dv + М dv2, (7)где К, L, М – величины, меняющиеся от точки к точке, т.е. характеризующие искривление поверхности. Эти величины могут измеряться с помощью бесконечно малых масштабов длины и угла и характеризуют геометрию самой поверхности.
Прикладывая бесконечно малые интервалы друг к другу, мы можем найти кратчайшее расстояние между двумя точками, которое в самом общем случае называется геодезической. Последняя является аналогом прямой линии в декартовой прямоугольной системе координат (евклидовом пространстве). Для каждого бесконечно малого интервала мы можем построить окружности и на этой основе определить соответствующие углы (предлагаем сравнить со сферической системой координат). Прямые линии и углы позволяют нам проводить любые геометрические построения.
Эти линии и углы с геометрической (но не с физической) точки зрения поддаются точным измерениям. Если поверхность евклидова декартовой системой координат, то наши измерения подтвердят аксиомы Евклида. Если поверхность – сфера, то постулат о параллельности прямых не выполняется. Не выполняется и постулат о бесконечной протяженности прямой линии. В этом случае каждая прямая, лежащая в одной плоскости с данной прямой, пересекает ее, а движение от данной точки по прямой снова приведет в эту данную точку независимо от направления перемещения. Если же поверхность образована вращением трасоиды вокруг оси (простейшая псевдосфера Лобачевского), то через точку, лежащую вне данной прямой, проходит более чем одна линия, лежащая в одной плоскости с данной прямой и не пересекающая ее.
Можно сказать, что кривизна – это величина, характеризующая отклонение кривой (линии либо поверхности) от прямой (линии или плоскости). Отклонение дуги АА' кривой L от касательной АВ к точке А можно описать так называемой средней кривизной kcp этой дуги, равной отношению величины угла α между касательными в точках А и А' к длине s дуги АА':
(8)Для дуги окружности радиусом r путем сравнения выражения длины дуги Ds, получаемого из равенства (8), с известным выражением длины дуги окружности можно показать, что
(9)Таким образом, можно видеть, что чем больше радиус дуги, тем меньше кривизна, и наоборот, т.е. средняя кривизна достаточно наглядно показывает степень искривленности.Пусть точка А' стремится к точке А, т.е. Ds ® 0.Тогда мы получим предельное значение средней кривизны kcp кривой L в точке А:
(10)Для характеристики кривизны поверхности в окрестностях точки А построим плоскость L, проходящую через нормаль NA к поверхности в точке А, т.е. через прямую, проходящую через точку А и перпендикулярную касательной прямой в этой точке поверхности. Построенная нами плоскость L будет естественно перпендикулярна плоскости K, касательной к поверхности S в точке А. Ясно также, что существует бесконечное множество плоскостей, проходящих через данную нормаль, и каждая из них пересекает поверхность по некоторой кривой, которую в малой окрестности точки А можно считать частью окружности.
Предположим, далее, что наша плоскость поворачивается вокруг нормали как оси. Тогда можно видеть, что радиус таких окружностей будет непрерывно меняться, так как в каждый момент меняется кривизна поверхности в окрестности точки А, называемая нормальной кривизной поверхности в этой точке. Мы получим непрерывное множество значений нормальной кривизны.
Можно также заметить, что существуют максимальное и минимальное значения радиусов получаемых окружностей, следовательно, существуют соответствующие минимальное н максимальное значения нормальной кривизны. Если R1 и R2 – максимальный и минимальный радиусы, то k1 = 1/R1и k2 = 1/R2 – минимальное и максимальное значения кривизны, которые называются главными значениями кривизны поверхности в точке А. Вводимые по определению величина
(11)называемая гауссовой кривизной поверхности в точке А, и величина
(12)называемая средней кривизной поверхности в точке А, полностью характеризуют отклонения поверхности от плоскости. В частности, если k и kcp равны 0 во всех точках поверхности, то поверхность представляет собой плоскость.