Параллельный перенос в пространстве Лобачевского (стр. 3 из 5)
Интересен тот факт, что гауссова кривизна не меняется при изгибаниях поверхности и описывает без обращения к еще одному измерению пространства (т.е. к пространству, объемлющему поверхность) так называемую внутреннюю геометрию поверхности. Средняя кривизна связана с внешней формой поверхности. В случае одномерной линии для определения ее кривизны придется выйти в двумерное пространство. Совершенно ясно, что для гипотетических обитателей двумерной поверхности, для которой мы выясняли смысл понятия кривизны, наши построения невозможны, так как для двумерного существа понятия нормали к точке А не существует, ибо сама нормаль непредставима, как непредставима для нас нормаль к нашему пространству из пространства с большим числом измерений: она лежит во внешнем пространстве и находится, таким образом, целиком вне поверхности. Не могут построить они и окружности к точке А, также выходящие в трехмерное пространство.
Следовательно, на первый взгляд эти двумерные существа не смогут понять смысл величин R1 и R2 и выявить кривизну своей поверхности в точке А. Ведь и нам, чтобы доказать, что Земля сфероподобна, необходимо выйти в третье измерение – вспомним известный пример с судном, движущимся к нам из-за горизонта. Но если нас окутывает сплошной, непроницаемый туман, то как мы сможем “увидеть” трехмерность нашего пространства и доказать тем самым сфероподобность Земли?
Оказывается, кривизну можно выявить и не выходя за пределы измерений исследуемой поверхности, если воспользоваться измерением уже упомянутых величин К, L и М. Так, для Земли мы обнаружим, что сумма углов достаточно большого треугольника больше 180°. Таким образом, зная величины К, L и М, можно определить кривизну поверхности, не выходя за ее пределы. И если k = 0, то мы имеем евклидову геометрию, в случае k >0 имеет место сферическая геометрия, при k < 0 – геометрия Лобачевского.
В последнем случае отрицательность кривизны объясняется следующим. Представим некую седловидную поверхность, отвечающую требованиям геометрии Лобачевского. Для такой поверхности два главных нормальных сечения, определяющих максимальное и минимальное значения кривизны, лежат в противоположных направлениях от точки А, а значит, радиусы кривизны необходимо взять с разными знаками. Поэтому произведение R1R2 оказывается отрицательным числом.
3 ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС ВЕКТОРА
В евклидовом пространстве равенство и параллельность двух векторов, отнесенных к разным точкам, формулируется весьма просто. Два вектора равны и параллельны, если их декартовы составляющие равны. То же определение, очевидно, годится и для векторов в плоскости . Оно непосредственно обобщается и на случай изогнутой поверхности, развертывающейся на плоскость. Если же мы имеем произвольную (не развертывающуюся) поверхность, то параллельность двух лежащих в ней векторов может быть определена только если точки приложения этих векторов бесконечно близки. Вектор на поверхности мы можем рассматривать как вектор в пространстве, касательный к поверхности в точке его приложения. Если дан вектор на поверхности в точке P, то параллельный ему (в смысле геометрии на поверхности) вектор в бесконечно близкой точке Qможет быть построен следующим образом. Данный вектор в точке Р мы рассматриваем как пространственный вектор, и строим в точке Qпараллельный ему в обычном смысле пространственный вектор, а затем проектируем его на плоскость, касательную к поверхности в точке Q. Этот касательный вектор в Qмы и считаем параллельным данному вектору в Р.
Аналитически это построение может быть выполнено следующим образом. Пусть у1, у2, у3— декартовы координаты в евклидовом пространстве, а х1, х2— координатные параметры поверхности. Параметрические уравнения поверхности имеют вид:
y1=y1(x1, x2), y2=y2(x1, x2), y3=y3(x1, x2) (13)
и квадрат элемента дуги на поверхности будет равен
ds2= g11dx12 + g12 dx1 dx2 + g21 dx2 dx1 + g22 dx22 (14)
где
(15)Пусть A1, A2— ковариантные и A1, A2— контравариантные составляющие некоторого вектора на поверхности в точке Р(х1, х2). Мы можем рассматривать его как пространственный вектор с прямоугольными составляющими
Yn=
A1 + 
A2 , ( n=1, 2, 3 ) , (16)Причем будет
, ( l =1, 2) . (17)Если мы, перейдя к точке Q(x1+dx1 , x2+dx2), не изменим прямоугольных составляющих Yn, мы получим пространственный вектор, который уже не будет касательным к поверхности. Но его касательные составляющие определят на поверхности вектор
, (18)который мы и считаем, по определению, результатом параллельного (в смысле геометрии на поверхности) переноса вектора Аlв точку Q. Нормальная же составляющая Yn, очевидно, из формулы (18) выпадает.
В формуле (18) добавка к учитывает изменение этой величины при переходе от Р к Q. Из-за этой добавки составляющая Аlполучает приращение
(19)Подставляя сюда выражение (16) для Yn, получаем
(20)На основании выражения (15) для gikнетрудно проверить, что в формуле (20) сумма по nравна
, (21)или, если воспользоваться обозначением для скобок Кристоффеля,
, (22)Таким образом, приращение составляющих вектора при параллельном переносе будет равно
, (23)Существенно отметить, что это приращение зависит только от внутренних свойств поверхности, определяемых выражением (14) для ds2.
Пусть коэффициенты квадратичной формы
ds2 = gaβdxadxβ(24)
представлены в виде
(25)где числа еnравны ± 1, а
(26)Величины уnмы можем формально толковать как декартовы координаты в некотором многомерном псевдоевклидовом пространстве с метрикой, определяемой выражением
, (27)а наше пространство-время — как некоторую гиперповерхность в этом многомерном пространстве.
Обычному контравариантному вектору Аαв пространстве-времени будет соответствовать в многомерном пространстве касательный к гиперповерхности вектор с декартовыми составляющими
, (28)(здесь и в дальнейшем снова подразумевается суммирование по греческим значкам от 0 до 3). Отсюда получаем на основании (25) следующие выражения для ковариантных составляющих вектора Аα:
, (29)Значения составляющих вектора Аαпосле его параллельного переноса в бесконечно близкую точку мы можем, аналогично (18), определить по формуле
, (30)Откуда
, (31)и после подстановки вместо Ynего выражения из (28)
, (32)Но из (25) следует, аналогично (22),
, (33)где Гγ,αβ — обычные скобки Кристоффеля
, (34)Поэтому формула для приращения составляющих вектора при параллельном переносе напишется
, (35)так же как и в случае обыкновенной поверхности в обычном евклидовом пространстве.
В формулу (35) входят как ковариантные, так и контравариантные составляющие вектора, но нетрудно выразить в ней обе части через одни и те же составляющие. Мы имеем
, (36) 
, (37)Поэтому
, (38)Сюда входят только ковариантные составляющие. С другой стороны,
, (39)и, как легко проверить,
, (40)Отсюда
, (41)и, следовательно, формула для контравариантных составляющих имеет вид
, (42)