Параллельный перенос в пространстве Лобачевского (стр. 4 из 5)
Рассмотрим изменение скалярного произведения двух векторов при параллельном переносе. Тогда
. (43)Подставляя сюда выражение для
из (42) и написав, согласно (38), 
в виде 
, (44) 
, (45)Таким образом, скалярное произведение двух векторов при параллельном переносе не меняется. В частности, не меняется и абсолютная величина вектора.
Можно также определить параллельный перенос и вдоль любой заданной кривой. Пусть координаты точки на кривой заданы как функции некоторого параметра р:
xβ= xβ(p) , (46)
Величины
(которые являются функциями координат) также будут известными функциями от р. Для определения вектора Аνв функции от рмы будем иметь дифференциальные уравнения
. (47)Если заданы значения Аνдля начальной точки кривой, то, интегрируя уравнения (47), мы получим значения Аνи для конечной точки кривой. Тем самым мы произведем параллельный перенос вектора из начальной точки в конечную. Результат будет, очевидно, зависеть от вида кривой, вдоль которой производится перенос.
Сравним уравнения (47) параллельного переноса с уравнениями геодезической линии
(Геодезическая линия, кривая, главные нормали всех точек которой совпадают с нормалями поверхности, на которой та расположена. Кратчайшее расстояние между двумя точками по поверхности - геодезическая линия, но не всегда обратно.)
, (47*)Те и другие уравнения совпадут, если мы положим
, (48)Если геодезическая линия временно-подобна (т. е. соответствует движению точки со скоростью, меньшей скорости света), то в качестве параметра р можно взять собственное время τ, и вектор Аα будет совпадать с четырехмерной скоростью. Таким образом, в этом случае уравнения геодезической линии можно толковать как уравнения параллельного переноса вектора скорости вдоль направления, даваемого этим же самым вектором (в четырехмерном смысле).
Из уравнений параллельного переноса для вектора нетрудно получить соответствующие уравнения для тензора любого ранга. В качестве примера рассмотрим случай ковариантного тензора второго ранга Тµν. Мы будем исходить из требования, чтобы инвариант
, (49)не менялся при параллельном переносе, каковы бы ни были векторы Aµ и Вν Меняя обозначения значков, мы можем написать величину
в виде 
. (50)Так как это выражение должно обращаться в нуль при любых Аµи Bν, мы должны иметь
. (51)что и является искомым обобщением уравнений параллельного переноса.
4 ГЕОМЕТРИЯ ЛОБАЧЕВСКОГО
Исторически геометрия Лобачевского возникла как первая неевклидова геометрия, осознанная как таковая.Именно с представлениями о геометрии Лобачевского как о типичном представителе пространств отрицательной кривизны связаны в основном физические приложения этой науки. Среди этих приложений наиболее традиционными являются приложения в общей теории относительности, которая, с математической точки зрения, базируется на геометрии искривленных пространств.Геометрия Лобачевского (как двумерная, так и многомерная) моделирует экспоненциальную неустойчивость геодезических на пространствах отрицательной кривизны. Аналогично, сфера моделирует возникновение сопряженных точек на пространствах положительной кривизны.
Исходным пунктом геометрии Лобачевского является принятие всех предложений геометрии Евклида, не зависящих от 5-го постулата (то есть абсолютной геометрии, включая аксиомы Паша, Архимеда, Дедекинда), и присоединение к ним взамен отброшенного 5-го постулата следующей аксиомы, противоположной аксиоме Плейфера, а значит, и 5-му постулату.
Через точку, лежащую вне прямой в плоскости, определяемой ими, можно провести не менее двух прямых, не пересекающих данной прямой.
Заметим, что существование хотя бы одной прямой, проходящей через данную точку и не пересекающей данной прямой, есть факт абсолютной геометрии. Аксиома Лобачевского утверждает существование по крайней мере двух таких прямых. Отсюда немедленно следует, что таких прямых существует бесконечное множество.
Плоскость, в которой предполагается выполнение аксиомы Лобачевского, называется плоскостью Лобачевского.
Заметим также, что геометрию Лобачевского называют гиперболической геометрией, в соответствии с чем плоскость и пространство Лобачевского называются гиперболическими.
В плоскости Лобачевского две прямые могут либо пересекаться, либо могут быть параллельными в некотором направлении, либо расходящимися. Поэтому в плоскости Лобачевского существует три вида пучков прямых:
1) пучок прямых, пересекающихся в одной точке, называемой центром пучка; такой пучок называется центральным или эллиптическим;
2) пучок прямых, параллельных в заданном направлении некоторой прямой, называемой осью пучка; такой пучок называется параболическим;
3) пучок расходящихся прямых, перпендикулярных к некоторой прямой, называемой базой пучка; такой пучок называется гиперболическим.
Любой из этих пучков определяется двумя своими прямыми, а параболический – одной с выбранным на ней направлением и что через всякую точку плоскости (кроме центра эллиптического пучка) проходит одна и только одна прямая пучка.
Эти три вида пучков связаны с тремя основными кривыми плоскости Лобачевского, являющимися кривыми постоянной кривизны.
Определение. Секущей равного наклона к двум данным прямым называется прямая, которая при пересечении с данными образует равные внутренние односторонние углы.
Определение. Если a и b – две прямые пучка и AB – какая-нибудь секущая равного наклона, пересекающая a и b в точках A и B, то эти точки называются взаимно соответственными относительно пучка.
Возьмём какую-нибудь прямую a данного пучка и на ней произвольную точку A. Тогда, проводя через точку A секущие равного наклона ко всем прямым пучка, мы на каждой прямой пучка найдём точку, соответственную точке A относительно пучка. Геометрическое место всех таких точек определит на плоскости некоторую линию. В зависимости от того, какого рода пучок рассматриваем, мы получим различные линии, построенные указанным выше способом.
Определение. Геометрическое место точек, соответственных некоторой точке A, взятой на одной прямой пучка, называется окружностью, орициклом (или, иначе, предельной линией) или эквидистантой в зависимости от того, будет ли данный пучок прямых соответственно эллиптическим, параболическим или гиперболическим. Сама точка A также включается в соответствующее геометрическое место.
Заметим, что прямая, как база гиперболического пучка, является частным случаем эквидистанты.
Орицикл может скользить по себе самому без деформации, подобно тому как это имеет место для прямой и окружности.
Таким же свойством обладает и эквидистанта: если заставить скользить по самой себе базу эквидистанты, то и сама эквидистанта будет скользить сама по себе без деформации, ибо расстояния всех точек эквидистанты от базы равны между собой.
Таким образом, в геометрии Лобачевского имеется четыре типа линий постоянной кривизны: прямая, окружность, орицикл и эквидистанта.
В отличие от окружности орицикл и эквидистанта – линии незамкнутые
Пространство, в которой предполагается выполнение аксиомы Лобачевского, называется пространством Лобачевского.
В пространстве Лобачевского параллельность и расходимость прямых, а также прямой и плоскости, определяется следующим образом:
Определение. Две прямые в пространстве называются параллельными (расходящимися), если они лежат в одной плоскости и в этой плоскости они параллельны (расходятся).
Определение. Прямая a называется параллельной плоскости α, если она параллельна своей проекции на эту плоскость.
Определение. Прямая a называется расходящейся с плоскостью α, если она расходится со своей проекцией на эту плоскость.
Из последних определений немедленно следует, что прямая, параллельная плоскости, неограниченно сближается с последней в сторону параллельности, а прямая, расходящаяся с плоскостью, имеет с этой плоскостью единственный общий перпендикуляр, в обе стороны от которого в проектирующей плоскости прямая неограниченно удаляется от плоскости.
Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве Лобачевского вполне характеризуется при помощи так называемого конуса параллельности, являющегося аналогом понятия угла параллельности.
Пусть дана плоскость α и не лежащая на ней точка A. Пусть AA' – перпендикуляр к α, проектирующий точку A в точку A' на плоскости α. Пусть далее AB – прямая, параллельная плоскости α, и A'B' – её проекция на α. Тогда угол BAA' есть угол параллельности в точке A прямой AB относительно прямой A'B'. Будем вращать прямую AB около перпендикуляра AA', тогда AB опишет круглую коническую поверхность с вершиной в точке A, все образующие которой параллельны плоскости α. Эта поверхность называется конусом параллельности в точке A относительно плоскости α. Таким образом, конусом параллельности в точке A относительно плоскости α называется геометрическое место всевозможных прямых, параллельных плоскости α в точке A.