Из этого определения ясно, что всякая прямая, проходящая через точку A и лежащая внутри конуса параллельности, пересекает плоскость α, а всякая прямая, проходящая через точку A и лежащая вне конуса параллельности, расходится с плоскостью α.
Конус параллельности в точке A позволяет все плоскости, проходящие через точку A, разбить на три категории:
1) плоскости, пересекающие конус по двум образующим,
2) плоскости, касающиеся конуса по образующей,
3) плоскости, имеющие с конусом лишь одну общую точку A.
Плоскости 1-й категории содержат прямые, проходящие через A и лежащие внутри конуса параллельности, а потому эти плоскости пересекают плоскость α. При этом прямая пересечения с плоскостью α параллельна в противоположных направлениях проекциям образующих, по которым плоскость 1-й категории пересекает конус параллельности. Плоскости 2-й и 3-й категории не содержат прямых, проходящих внутри конуса параллельности, а потому не могут пересекаться с плоскостью α.
Определение. Плоскость, проходящая через точку A, называется сходящейся с плоскостью α, параллельной плоскости α, или расходящейся с плоскостью α, смотря по тому, будет ли эта плоскость пересекать конус параллельности в точке A по паре образующих, или будет касаться конуса по образующей, или не будет иметь с конусом общих прямых.
В плоскости Лобачевского через точку, лежащую вне прямой, проходят две прямые, параллельные данной. В пространстве Лобачевского через точку, лежащую вне плоскости, можно провести бесконечное множество прямых, параллельных данной плоскости, это и будут образующие конуса параллельности.
В пространстве Лобачевского существует четыре типа поверхностей, которые могут без деформации передвигаться сами по себе, так, чтобы каждая точка поверхности совмещалась с любой другой её точкой и притом, чтобы направление любой касательной к поверхности в первой точке совместилось с направлением любой касательной во второй точке. Эти поверхности являются аналогами прямой, окружности, орицикла и эквидистанты на плоскости. Построение этих поверхностей может быть проведено по тому же плану, что и построение основных кривых на плоскости. Для этого воспользуемся понятием связки прямых.
Определение. Связкой прямых называется совокупность всех таких прямых в пространстве, каждая пара которых лежит в одной плоскости. Эти плоскости называются плоскостями связки.
Из этого определения вытекает, что в пространстве Лобачевского существует лишь три типа связок в соответствии с тремя возможностями взаимного расположения пары прямых в плоскости Лобачевского.
Действительно, пусть a и b – две прямые связки. Так как они по определению лежат в одной плоскости, то возможны три случая:
1) либо a и b пересекаются в некоторой точке O (такая связка называется эллиптической),
2) либо они параллельны (такая связка называется параболической),
3) либо они расходятся (такая связка называется гиперболической).
Таким образом, пространство Лобачевского имеет свои особенности и очень интересно в изучении.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Каждому уровню физической материи соответствует своя специфическая геометрия, ибо специфические физические явления того или иного уровня определяют специфические свойства пространства данного уровня. И бесконечно большое количество этих уровней (в силу бесконечного разнообразия мира) определяет бесконечное количество пространств и соответственно геометрий, описывающих свойства пространства.
В конечном итоге понятно, что можно построить другие геометрические системы, и все их наряду с евклидовой проверить на различных моделях физического пространства вселенной, т.е. использовать физические соображения в качестве основы для доказательства. Классическая механика построена на основе евклидового пространства и поскольку она достаточно достоверна, то достоверна и евклидовость пространства. Однако сама классическая механика ограничена предметом исследования, поэтому и подтверждение ею евклидовости пространства также ограничено.
Итак, строго говоря, одним каким-то опытом или даже некоторой ограниченной группой опытов евклидовость пространства однозначно не доказывается. Изменение же системы аксиом приводит к созданию новых геометрий. Заметим также, что геометрию Лобачевского называют гиперболической геометрией, в соответствии с чем плоскость и пространство Лобачевского называются гиперболическими.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
1.Черников, Н. А., сб. «Физика элементарных частиц и атомного ядра» /Н. А. Черников.- М.: Атомиздат, 1973.- 163 с.
2.http://geom.kgsu.ru/index.php?option=content&task=view&id=27#Prokl
3.Фок, В. А./ Теория пространства, времени и тяготения. / В. А. Фок.-М.: Наука, 1961.-415с.
4.Котельников, А.П. Сборник «Некоторые применения идей Лобачевского в механике и физике»/ А. П. Котельников, В. А. Фок– М.: Гостехиздат, 1950.-210с.
5. Ландау Л. Д. , Лифшиц Е. М. Теория поля. / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц -М., Наука, 1988.-509с.
6. Лобачевский, Н. И. Геометрические исследования по теории параллельных линий. /Н. И. Лобачевский.- М.: Акад. наук СССР, 1945.-267с.
8. Лобачевский, Н. И. Полное собрание сочинений. Т. 1. / Под общ. ред. В. Ф. Кагана, А. П. Котельникова, В. В. Степанова и др. Гл. ред. В. Ф. Каган.- М: Гостехиздат, 1947.-286с.
9. Лобачевский, Н. И. Полное собрание сочинений Т. 2. / Гл. ред. В. Ф. Каган. -М: Гостехиздат, 1949.-310с
10. Лобачевский, Н. И. Полное собрание сочинений Т. 3. / Гл. ред. В. Ф. Каган. М.: Гостехиздат, 1951с.-298с.
11. Норден, А. П. Элементарное введение в геометрию Лобачевского. / А. П. Норден.- М. :Гостехиздат, 1953.-257с.
12. Широков, П. А. Краткий очерк основ геометрии Лобачевского. 2-е изд. /П. А. Широков.- М.: Наука, 1983.-178с.