Параллельный перенос в пространстве Лобачевского (стр. 1 из 5)

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

«Гомельский государственный университет

имени Франциска Скорины»

Физический факультет

Кафедра теоретической физики

Параллельный перенос в пространстве Лобачевского

Курсовая работа

Исполнитель:

студент группы Ф-46м _____________________ Замараева А.В.

Научный руководитель:

Доцент, К. Ф. – М. Н. , доцент кафедры теоретической физики

Капшай В. Н.

Гомель 2009

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

1 Пространство мира

2 Описание пространства Лобачевского

3 Параллельный перенос вектора

4 Геометрия Лобачевского

Заключение

Список использованных источников

ВВЕДЕНИЕ

Основным признаком современных представлений о пространстве является их диалектический характер. Собственно говоря, именно диалектико-материалистический подход к проблеме пространства, стихийный или сознательный, имеющий свои корни в предшествующих философских и научных системах, и позволил создать картину пространства, объясняющую многие проблемы, перед которыми останавливались мыслители прежних эпох, но, пожалуй, ставящую еще больше новых проблем. Однако это естественно: чем больше мы узнаем, тем больше понимаем, насколько ограниченны наши знания, накопленные за всю историю человечества, перед миром.

Геометрия Лобачевского (как двумерная, так и многомерная) моделирует экспоненциальную неустойчивость геодезических на пространствах отрицательной кривизны. Аналогично, сфера моделирует возникновение сопряженных точек на пространствах положительной кривизны.

Исходным пунктом геометрии Лобачевского является принятие всех предложений геометрии Евклида, не зависящих от 5-го постулата (то есть абсолютной геометрии, включая аксиомы Паша, Архимеда, Дедекинда), и присоединение к ним взамен отброшенного 5-го постулата следующей аксиомы, противоположной аксиоме Плейфера, а значит, и 5-му постулату.

1 ПРОСТРАНСТВА МИРА

Корни развития представления о пространстве уходят в немецкую философию. Если Ньютон довел до логического завершения материалистически-атомистическую тенденцию развития представлений о пространстве, то идеалистическую трактовку пространства в наиболее развернутой форме дал Гегель, критически продолжив линию Лейбница и доведя ее с идеалистически-диалектических позиций до логического завершения. Пространство, считает Гегель, находится в неразрывной диалектической взаимосвязи со временем, движением и материей: “лишь в движении пространство и время действительны”, но “точно так же, как нет движения без материи, так не существует материи без движения”.

Гегель утверждает: “...Пространство и время непрерывны в самих себе, и движущееся тело одновременно находится и не находится в одном и том же месте, т.е. одновременно находится в другом месте, и точно так же одна и та же временная точка существует и вместе с тем не существует, т.е. есть вместе с тем другая точка”. Или: «Две точки сливаются в единую точку, и в то время, когда они есть в одном, они также не есть в одном. Движение и состоит именно в том, что тело находится в одном месте и одновременно в другом месте, причем столь же верно, что оно находится не в другом, а именно в данном месте».

Пространство и время есть формы существования материи. В III веке до нашей эры Евклид завершил создание своей геометрии, которая господствовала в науке около трех тысячелетий и в практически неизменной форме дошла до нашего времени. Вспомним три основные аксиомы евклидовой геометрии:

1) между двумя точками можно провести одну и только одну прямую;

2) эта прямая есть кратчайшее расстояние между точками;

3) через любую точку, лежащую вне прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной.

Обыденная практика подсказывает, что эти аксиомы совершенно очевидны и не требуют специального геометрического либо какого-то другого математического доказательства.

Возможность отказа от одной из аксиом евклидовой геометрии либо построения любой другой внутренне непротиворечивой системы аксиом ставит вопрос о возможности существования других геометрий, описывающих пространство нашего мира.

В 1829 году русский математик Н. И. Лобачевский опубликовал статью “О началах геометрии”, в которой он утверждает, что возможно построение геометрии без аксиомы о параллельности прямых в смысле евклидовой геометрии, причем новая геометрия будет также логически непротиворечива. Аналогичная идея была высказана венгерским математиком Яношем Бояи и немецким математиком Карлом Гауссом. Интересно, что новые идеи возникли в одно и то же время независимо в Казани, Будапеште и Геттингене и долго оставались малоизвестной областью науки.

Первым, кто целиком понял их значение, был выдающийся немецкий математик Бернхард Риман, создавший общую теорию геометрических многообразий (1854 год). Данная теория допускала не только существовавшие виды неевклидовых геометрий, но и многие другие, названные римановыми геометриями. Это было выдающееся обобщение классической геометрии, получившее признание лишь с развитием неклассической науки.

Основная идея геометрии Лобачевского заключается в новой формулировке аксиомы параллельности, противоположной евклидовой: к данной прямой через данную точку, лежащую вне ее, можно провести по меньшей мере две прямые так, что они не пересекают данную прямую. Очевидно, что любая прямая, расположенная между этими прямыми и проходящая через данную точку, также не пересечет данную прямую. Таким образом, через данную точку можно провести сколько угодно прямых, параллельных данной. Все другие аксиомы Евклида сохраняются. Из этого Лобачевский выводит ряд теорем, которые не противоречат друг другу, и строит логически непротиворечивую геометрию, которая значительно отличается от евклидовой и кажется весьма странной. Так, сумма углов треугольника всегда меньше 180°; невозможно построить фигуру, подобную данной, но имеющую другие размеры; расстояние между двумя прямыми в одном направлении асимптотически увеличивается, а в другом, противоположном, асимптотически уменьшается; угол параллельности меняется в зависимости от расстояния от точки, через которую проводится параллельная линия, до данной линии и т.д.

Можно построить двумерный образ геометрии Лобачевского путем вращения трактрисы вокруг оси OY как оси вращения. Полученная поверхность носит название псевдосферы. На такой поверхности кратчайшей линией между двумя точками будет кривая, называемая геодезической. Эта кривая и соответствует прямой Лобачевского. При передвижении фигуры по поверхности будет меняться кривизна фигуры, но сохранятся углы, отрезки и величина площади.

Рисунок 2

Двумерный аналог геометрии Лобачевского: трасоида (а) и псевдосфера, образованная вращением трасоиды вокруг оси ОY (б).

АВ – геодезическая (кратчайшее расстояние между точками А и В в пространстве Лобачевского. KLM – треугольник в пространстве Лобачевского; Ð +Ð L +Ð М < 180°.

Наглядный образ, соответствующий трехмерной геометрии Лобачевского, построить не удается, так как геометрия в обыденном представлении остается евклидовой. Однако удалось доказать логическую непротиворечивость и существование такой геометрии. Основная идея доказательства заключается в том, чтобы свести геометрию Лобачевского, построенную как планиметрию (т.е. на плоскости), к геометрии на трехмерной гиперповерхности постоянной отрицательной кривизны (аналогом такой гиперповерхности-псевдосферы может быть трехмерный гиперболоид) в четырехмерной евклидовой геометрии. Модель трехмерной геометрии Лобачевского можно представить в виде бесконечной седловидной поверхности гиперболической формы, поэтому такую геометрию обычно называют гиперболической.

Риман обобщил геометрические представления и создал теорию произвольно искривленных пространств. Заслуга его состоит и в разработке частных случаев неевклидовых геометрий, в том числе в создании эллиптической геометрии, выступающей антитезой гиперболической геометрии Лобачевского. Эллиптическая геометрия – это геометрия на трехмерной гиперсфере. Двумерной ее аналогией является геометрия на поверхности обычной сферы. Здесь можно видеть, что представление о параллельных линиях вообще теряет всякий смысл, ибо все “параллельные” в локальном смысле линии представляют собой линии большого круга, пересекающиеся на полюсах сферы, а сумма углов треугольника, образованных этими линиями, всегда больше 180°.

Следует особо отметить, что при малых величинах неевклидовы геометрии можно считать евклидовыми.

Вот три рода изменений кривизны в пространстве, которые мы должны признать лежащими в пределах возможного:

I. Пространство наше, быть может, действительно обладает кривизной, меняющейся при переходе от одной точки к другой, – кривизной, которую нам не удается определить или потому, что мы знакомы лишь с небольшой частью пространства, или потому, что смешиваем незначительные происходящие в нем изменения с переменами в условиях нашего физического существования, последние же мы не связываем с переменами в нашем положения...

II. Наше пространство может быть действительно тождественно во всех своих частях (имеет одинаковую кривизну), но величина его кривизны может изменяться как целое во времени. В таком случае наша геометрия, основанная на тождественности пространства, сохранит свою силу для всех частей пространства, по перемены в кривизне могут произнести в пространстве ряд последовательных видимых изменений.

III. Мы можем мыслить наше пространство как имеющее повсюду приблизительно однородную кривизну, но легкие изменения кривизны могут существовать при переходе от одной точки к другой, в свою очередь изменяясь во времени. Эти изменения кривизны во времени могут произвести явления, которые мы не так уж неестественно приписываем физическим причинам, не зависящим от геометрии нашего пространства”