С каждой из этих “прямых” луч СА, перпендикулярный прямой В'В, образует угол л(р), названный Лобачевскимуглом параллельности. Угол p (р) зависит от длины СА==р и имеет следующее свойство: все прямые, проходящие через С и образующие с перпендикуляром СА угол, меньший л(р), пересекают В'В, все остальные “прямые”, проходящие через С, не пересекают В'В, их называют расходящимися прямыми или сверхпараллелями к прямой В'В. Через С проходит бесконечное множество таких “прямых”.
В частном случае, когда p (р) ==90°, получается постулат Евклида и соблюдаются все предложения обычной геометрии, “употребительной”, как называл ее Н. И. Лобачевский.
Угол p (р) возрастает и приближается к прямому углу при приближении точки С к прямой В'В .
Из допущения, что p(р)<90° вытекают совершенно иные следствия, составляющие содержание но вой геометрии, так же непротиворечивой, как и евклидова геометрия но значительно точнее, чем евклидова, отображающей пространственные геометрические и физическиесоотношения, например, за предела ми мировых областей “средней величины”.
Оказалось также, что взаимосвязь пространства и времени, от крытая X. Лоренцом, А. Пуанкаре, А. Эйнштейном и Г. Минковским и описываемая в рамках специальной теории относительности, имеет непосредственное отношение к геометрии Лобачевского. Например, в расчетах современных синхрофазотронов используются формулы геометрии Лобачевского.
Такую геометрию Лобачевский сначала назвал “воображаемой”, а потом (в конце жизни)—“пангеометрией”, т. е. всеобщей геометрией. Теперь ее во всем мире называют “геометрией Лобачевского”.
Ученик.
Был мудрым Евклид,
Но его параллели,
Как будто бы вечные сваи легли.
И мысли его, что как стрелы летели,
Всегда оставались в пределах Земли.
А там, во вселенной, другие законы,
Там точками служат иные тела.
И там параллельных лучей миллионы
Природа сквозь Марс, может быть, провела.
Ведущий. Из понимания параллельности “по Лобачевскому” вйтекает много диковинных на первый взгляд, но строго обоснованных следствий.
Ученик. Каких?
Ведущий. Например, в пространстве Лобачевского параллельные прямые неограниченно сближаются в направлении параллельности и потому существуют “бесконечные треугольники”, стороны которых попарно параллельны , но нет подобных многоугольников.
Ученик.
Скоро порохом вспыхнет рассветная тишь.
Ты на четкий чертеж неотрывно глядишь.
После встал, потянулся устало.
Вечность тайну тебе нашептала,
И душой изумленной увидел ты то,
Что доселе не знал и не ведал никто:
Параллели стрелою нацелены в высь,
Параллели пронзают межзвездные дали.
Параллели — ты, чуешь? — стремятся ойтись,
Только сразу такое постигнешь едва ли.
Ведущий. В геометрии Лобачевского интересна и важна такая теорема: “Сумма углов треугольника всегда меньше 180°”.
Ученик. Позвольте на минутку перебить Вас. У Данте есть такие строки:
Как для смертных истина ясна,
Что в треугольник двум тупым не влиться.
Теперь-то нам понятно, что не может быть двух тупых углов не только в нашем “земном” треугольнике, но и в “звездном” треугольнике геометрии Лобачевского...
Ведущий. Очень интересно, но задержимся еще немного на треугольнике в геометрии Лобачевского.
Пусть a,b и g— углы треугольника, тогда число d= 180°— (a +b+g) называют “дефектом треугольника” и справедлива поразительная формула выведенная Н. И. Лобачевским d= S/R2, где где S—площадь треугольника, а R— число, одинаковое для всех треугольников Величину К, имеющую размерность длины, называют радиусом кривизны, пространства Лобачевского, а отрицательную величину k=1/R2кривизнойэтого пространства.
В евклидовом пространстве d=0 (так как a +b+g=180°), поэтому его кривизна считается равной нулю.
Получается так, что наша “употребительная” геометрия является предельным (приd- 0) случаем геометрии Лобачевского.
1-й ученик.
В мире все криволинейно.
Прямота лишь сферы часть.
И Евклидово ученье
В космосе... теряет власть.
Ученик. Послушайте стихотворение поэта Александра Лихолета (Донецк), напечатанное в альманахе “Истоки” (М.: Молодая гвардия, 1983).
“Все! Перечеркнуты “Начала”.
Довольно мысль на них скучала,
Хоть прав почти во всем Евклид,
Но быть не вечно постоянству:
И плоскость свернута в пространство,
И мир
Иной имеет вид...
О чем он думал во вчерашнем?
О звездном облаке, летящем
Из ниоткуда в никуда?
О том, что станет новым взглядом:
Две трассы, длящиеся рядом,
Не параллельны никогда?
Что постоянному движенью
Миров сопутствует сближенье,
И, значит, встретятся они:
Его земная с неземными
Непараллельными прямыми
Когда-нибудь, не в наши дни?..
Ведущий. Открытие Лобачевского настолько опередило развитие математической мысли того времени, было настолько непредвиденным и смелым, что во всем мире почти никто из математиков—его современников — не был готов к восприятию идей “воображаемой геометрии”. Поэтому при жизни Лобачевский попал в тяжелое положение “непризнанного ученого”. Приведу один любопытный факт общественной жизни того времени.
Могучий “властитель дум” передовой интеллигенции — Н. Г. Чернышевский. Казалось, он-то мог, хотя бы интуитивно, ощутить в утверждениях геометрии Лобачевского идею революционного переосмысливания веками укоренившейся системы восприятия пространства. Увы, так не случилось. Иначе Чернышевский не иронизировал бы в письме к сыновьям: “Что такое “кривизна луча” или “кривое пространство”? Что такое геометрия без аксиомы параллельных?” Он сравнивает это с “возведением сапог в квадраты” и “извлечением корней из голенищ” и говорит, что это столь же нелепо, как “писать по-русски без глаголов”, (А ведь Фет писал без глаголов и получалось здорово: “Шелест, робкое дыханье, трели соловья”.)
1-й ученик.
Отшатнулись коллеги, отстали друзья…
Может, в партии жизни зевнул ты ферзя ?
2-й ученик
— Чушь,— кричат,— Лобачевский,—нелепица, бред
Ничего смехотворней и в мире-то нет!
Параллели не встретятся — это жепросто,
Как дорога от города и до погоста!
Ну хоть рельсы возьми, пересечься им что-ли,
Хоть сто лет рассекая раздольное поле?
3-й ученик.
Где ж понять им: коль к звездам протянутся рельсы,
Окунутся с разбега в иные законы.
Там, где в нуль обращается зябнущий Цельсий,
Мировые законы пока потаенны.
4-й ученик.
Проплывают в ухмылке ученые лица,
И насмешек у сердца стоит ледостав.
Так неужто же он, Лобачевский, смирится?
Нет, он целому миру докажет, что прав!
Ведущий. Потребовалось полвека для того, чтобы идеи Лобачевского сделались неотъемлемой частью математических наук, проникли в механику, физику, космологию, стали общекультурным достоянием. Так, в “Братьях Карамазовых” Иван, обладающий, по словам автора романа, “евклидовским” характером ума, .говорит: “Пусть даже параллельные линии сойдутся, и я сам это увижу; увижу и скажу, что сошлись, а все-таки не приму...” Это значит, что Достоевский имел отчетливое представление о новой геометрии.