по Математическому моделированию (стр. 1 из 8)

СПЕЦИАЛЬНОСТЬ:

Группа:

Дисциплина: Исследование операций

___________________________________________________________________________________

ФИО студента:________________________________________

Набор задач №34.

1. Построить математическую модель следующей задачи оптимального планирования объемов производства.

Компания производит погрузчики и тележки. От одного погрузчика компания получает доход в размере $80 и от одной тележки в размере $40 . Имеется три обрабатывающих центра, на которых выполняются операции металлообработки, сварки и сборки, необходимые для производства любого из продуктов. Для интервала планирования, равного месяцу, задана предельная производственная мощность каждого обрабатывающего центра в часах, а также количество часов, необходимое на этом центре для производства одного погрузчика и одной тележки. Эта информация задана в таблице.

Погрузчик Тележка (часы/ед.) (часы/ед.)	Общ. мощ. (часы)
Мет. обраб.СваркаСборка	6 4 2 3 9 3	2400 1500 2700

Требуется составить допустимый план работ на месяц с максимальным доходом.

Решение.

Пусть

— количество производимых погрузчиков;

— количество производимых тележек.

Тогда целевая функция, обозначающая общую сумму дохода по всем видам производимой продукции ( погрузчики и тележки ), равна

Задача состоит в нахождении допустимых значений переменных

и , максимизирующих J(x). При этом, в силу условия задачи, должны выполняться следующие ограничения на переменные:

для каждого из обрабатывающих центров время, затраченное на производство

и единиц погрузчиков и тележек соответственно, не должно превышать предельной производственной мощности :

1)

часов в месяц ( для центра металлообработки) ;

2)

часов в месяц ( для центра сварки) ;

3)

часов в месяц ( для центра сборки);

4)

(ограничение на неотрицательность переменных) .

Итак, получили следующую математическую модель данной задачи:

2. Найти множество Парето следующей двухкритериальной задачи.

, ,

при условии

. Значения функций заданы таблицей

x	1	2	3	4	5	6	7
	-2	-4	-6	-4	-6	-8	-6
	12	12	12	10	10	10	6

Решение.

Решим вопрос нахождения множества Парето данной задачи геометрически. Для этого изобразим на графике множество, состоящее из точек

=

С помощью графика найдем все точки с максимальным значением координаты

. В данном случае это одна точка, имеющая координаты (-2,12). Она войдет во множество оптимальных по Парето исходов. Далее исключим из рассмотрения все точки, координаты которых не превосходят, а координаты больше или равны координатам найденной точки (-2,12) ( это (-4,12) и (-6,12) ). Снова из оставшихся точек выберем все с наибольшим значением . Это точка с координатами (-4,10). Из оставшихся две точки (-6,10) и (-8,10) нам не подходят, поскольку их координаты меньше первой координаты выбранной точки (-4,10), а координаты равны второй координате этой точки. Значит, соответствующие им стратегии являются доминируемыми. Что же касается точки (-6, 6), то она войдет во множество оптимальных по Парето точек. Окончательно получили, что множество Парето данной задачи состоит из трех точек - (-2,12), (-4,10), (-6, 6). Они отвечают стратегиям под номерами 1, 4 и 7 соответственно. Таким образом, .

3. Геометрически решить задачу линейного программирования:

,

Решение.

Строим область допустимых решений, т.е. геометрическое место точек, в котором одновременно удовлетворяются все ограничения данной ЗЛП. Каждое из неравенств системы ограничений нашей задачи геометрически в системе координат (
,
) определяет полуплоскость соответственно с граничными прямыми.

Первому ограничению соответствует прямая, пересекающая координатные оси в точках с координатами ( 0, 6 ) и ( 6, 0 ).

Второму ограничению соответствует прямая, пересекающая координатные оси в точках с координатами ( 0, -1 ) и ( 1, 0 ).

Третьему ограничению соответствует прямая, пересекающая координатные оси в точке с координатами ( 1, 0 ) и проходящая параллельно оси

.

Четвертому ограничению соответствует прямая, пересекающая координатные оси в точках с координатами ( 0, 6 ) и ( 3, 0 ).

Пятому ограничению соответствует прямая, пересекающая координатные оси в точках с координатами ( 0, 4 ) и ( -8, 0 ).

Шестому ограничению соответствует прямая, пересекающая координатные оси в точке с координатами ( 0, 1 ) и проходящая параллельно оси

.

Области, в которых выполняются соответствующие ограничения в виде неравенств, указаны на рисунке стрелками, направленными в сторону допустимых значений переменных.

Полученная область допустимых решений выделена на рисунке серым цветом.

Вектор градиента v определяется координатами ( 0.5, 2 ). Он перпендикулярен линиям уровня и указывает направление возрастания целевой функции. На рисунке красным цветом изображены линии уровня , заданные уравнениями
и
, т. е. когда целевая функция принимает значение 0 и 10 соответственно.

3. По графику видно, что касание линии уровня ( ее уравнение

), перед выходом из области допустимых решений, произойдет в точке пересечения прямых и . Нетрудно подсчитать, что эта точка имеет координаты .

4. В этой точке

значение целевой функции будет наибольшим, т.е.

.

4. Перейти к задаче с ограничениями

: