Полный курс лекций по математике (стр. 6 из 14)

По формулам Крамера можно решить систему n линейных уравнений с n неизвестными.

Пример Решить систему уравнений.

х - у+z=1

х + у – z=2

5х + у – z=7

1) Составим и вычислим определитель системы ∆=

= 0.

2) Вычислим определители ∆х, ∆у, ∆z.

∆х =

= 0, ∆у = = -2

Т.к. определитель ∆у= -2 ≠ 0, мы делаем заключение: Система несовместна, т.е. она не имеет решения.

Тема 7. Алгебра матриц.

Определение. Таблица, составленная из m*n чисел называется матрицей размерности m*n,

а₁₁ а₁₂ а₁₃…а_1п

а₂₁ а₂₂ а₂₃…а_2п

……………… = А_м*п= //а_ij//

а_м1 а_м2 а_м3…а_мп , где

m – число строк, n – число столбцов. Числа а_ij называются элементами матрицы, i- номер строки, j – номер столбца, на пересечении которых стоит элемент.

Разновидности матриц.

1. Матрица называется прямоугольной, если m≠n.

2. Матрица называется квадратной, если m=n.

3. Матрица называется матрицей - строкой, если m=1.

4. Матрица называется матрицей - столбцом, если n=1.

Например, 1) 1 2 3 = А_2*3 – прямоугольная матрица размерности 2*3 (два на три)

0 –1 5

2) 1 2 - квадратная матрица.

3 4

3) (1 0 3 5, -1) – матрица строка.

4)

7

12 матрица столбец.

5

3

5) Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы матриц, расположенные выше или ниже главной диагонали равны нулю.

Например, 1 0 0 5 1 –3

2 6 0 или 0 4 2

-1 –2 8 0 0 -1

6)

Квадратная матрица называется диагональной, если все ее элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю.

Например, 1 0 0

0 –2 0

0 0 5

7) Квадратная матрица называется единичной, если элементы диагональной матрицы, стоящие на главной диагонали равны единице.

1 0 0

Е = 0 1 0

0 0 1 .

Алгебра матриц.

1. Равенство матриц. Две матрицы А_м*п и В_м*п одинаковой размерности равны, если равны соответствующие элементы этих матриц.

А_м*п = В_м*п - а_ij = b_ij (i =

, j = )

- этот знак (квантор эквивалентности) заменяет слова «тогда и только тогда»,

обозначение (i =

) применяется, если хотят сказать, что i пробегает все значения от 1 до m.

2. Сумма матриц. Суммой двух матриц А_м*п = //а_ij// и В_м*п = //в_ij// называется матрица С_м*п, элементы которой С_ij = а_ij + в_ij . C_m*n = A_m*n + B_m*n. Складывать можно матрицы одинаковой соразмерности.

Нпример, Если А= 1 –2 4 В= -3 2 5

3 1 –6 , 1 –6 4 , то