Загальні властивості неперервних функцій однакові як для функцій однієї змінної, так і для функцій багатьох змінних.
Теорема 3. (Вейєрштрасса). Функція , визначена і неперервна в обмеженій замкненій області D, є обмеженою.
Для функції однієї змінної замкненою областю D є сегмент, наприклад, [а, b].
Сформулюємо теорему 3 для функції однієї змінної у = f(х). Функція f(х), неперервна на [а, b], є обмеженою.
Зауваження. Теорема 3 не виконується, якщо область D відкрита. Наприклад, у = неперервна в інтервалі (0, 1), але вона в цьому інтервалі не обмежена.
Теорема 4. (про знак функції). Якщо функція неперервна в точці А і f(А) ≠ 0, то функція в достатньо малому околі точки А зберігає знак.
Сформулюємо теорему 4 в термінах функції однієї змінної:
якщо функція у = f (х) неперервна в точці а і f(а) ≠ 0, то функція в достатньо малому околі точки а зберігає знак.
Дійсно, нехай , наприклад, f(а) > 0. Покажемо, що для будь-якого > 0 можна знайти таке > 0, що для всіх х (а — , а + ) виконується нерівність f(х) > 0.
Побудуємо -окіл точки а і -окіл точки f(а) (рис. 3.75).
Якщо взяти = min (h1 h2), то завжди можна побудувати прямокутник із сторонами 2 і 2 такий, що f(х) > 0.
Теорема 5 (про корінь функції). Якщо функція визначена і неперервна в деякій однозв'язній області D, причому в цій області дві точки А (а1 а2, ..., аn) і В (b1, b2, ..., bn), в яких функція набуває значень різних знаків:
f(А) < 0, f(В) > 0,
то в цій області знайдеться принаймні одна точка С, в якій функція перетворюється в нуль, тобто f(С) = 0.
Введемо поняття однозв'язної області. Множина точок простору Е„ називається простою дугою Жордана (простою кривою), якщо цей простір можна дістати в результаті відображення деякого сегмента t0 ≤ t ≤ Т за допомогою системи функцій
неперервних на цьому сегменті, причому двом різним значенням параметра t відповідають, дві різні точки.
Якщо точка М0 (, (t0), ,…, збігається з точкою , то крива називається простою замкненою кривою.
Розглянемо просту криву, задану рівняннями
х = х(t), y = y(t) (5.18)
на площині. Якщо будь-які дві точки області, розміщеної на площині, можна сполучити простою кривою, яка міститься в цій області, то область називається зв'язною. Для утворення однозв'язної області необхідно розглядати замкнену криву (5.18).
Якщо побудувати просту замкнену криву (5.18) на площині, то площина розіб'ється на дві області — внутрішню і зовнішню.
Область D на площині називається однозв'язною, якщо будь-яка область внутрішня відносно простої довільної замкненої кривої, яка міститься в D, також міститься в D. На рис. 3.76 області а і б однозв'язні, а область в — неоднозв'язна. Поняття зв'язної і однозв'язної областей поширюється і на випадок n-вимірного простору.
Для функції однієї змінної теорема 5 формулюється таким чином: якщо у = f(х) неперервна на [а, b] і на кінцях сегмента набуває значень різних знаків, то всередині сегмента знайдеться принаймні одна точка така, що f () = 0.
Точка називається коренем (нулем) функції f(х), а сформульована теорема називається теоремою про корінь (про нуль).
На рис. б — три корені, а на рис., a — один.
Теорема 6 (про проміжне значення). Якщо функція неперервна в зв'язній області D (відкритій або замкненій) і набуває різних значень у точках М1 і М2, то яким би не було число С, що міститься між значеннями f(М1) і f(М2), існує принаймні одна така точка М3, яка лежить всередині D, що
f(М3) = С
Сформулюємо теорему 6 для функції однієї змінної:
якщо у = f(х) неперервна у проміжку і набуває різних значень у двох точках а і b сегмента [а, b] f(a) = А і f(b) = В, то для будь-якого С, що лежить між А і В, А < С < В, всередині сегмента знайдеться принаймні одна така точка , що С = f().
Доведення. Нехай А < В і А < С < В (рис. 3.78). Побудуємо функцію Н (х) = f(х) - С.
Для цієї функції
Функція Н(х) неперервна на [а, b] як різниця двох неперервних функцій f(х) і сталої (х)= С. Отже, до функції Н(х) застосована теорема про корінь. Тоді на [а, b] існує точка така, що Н() = 0, тобто
Звідси
що й треба було довести.
Теорема 7 (про найменше і найбільше значення). Якщо функція неперервна в обмеженій замкненій області D, то вона обмежена, тобто всі її значення містяться між двома скінченними числами та і М:
m ≤ f(X) ≤ M.
Числа т і М називаються найменшим і найбільшим значеннями функції. При цьому в області D знайдеться принаймні одна точка Х1 D, в якій функція f(X1) набуває найменшого значення f(Х1) = т; і принаймні одна точка Х2 D, в якій функція набуває найбільшого значення f(Х2) = М.
Сформулюємо теорему 7 для функції однієї змінної:
якщо функція у = f(х) неперервна на [а, b], то вона обмежена, тобто всі її значення містяться між. двома скінченними числами т і М, які називаються найменшим і найбільшим значеннями функції на сегменті [а, b].
m ≤ f(x) ≤ M.
На рис. зображена неперервна на [а, b] функція, у якої є точки і такі, що
і одна точка х2, в якій f(х2) = М.
Теорема 8 (Кантора). Якщо функція неперервна в обмеженій замкнутій області D, то вона рівномірно неперервна в D.
Теорему наводимо без доведення.