Полуточка модель скорости (стр. 1 из 2)

Полуточка: модель скорости

Каратаев Евгений Анатольевич

Настоящая статья строит модель скорости в рамках модели полуточки и приводит две простых иллюстрации, демонстрирующие и иллюстрирующие модель скорости в общеизвестных случаях поступательной и вращательной скорости. В статье приводится в основном модель скорости, и разбор отдельных случаев скорости и её видов представляется либо темой отдельной статьи, либо большой работы о кинематике, выраженной на языке гиперкомплексных чисел.

Для понимания предлагаемой модели скорости частично повторим основные положения модели полуточки и модели миров.

Точка пространства испытывает изменение при переходе от одной системы отсчёта к другой:

(1)

Считается, что точка

принадлежит миру с временем :

(2)

В этой статье понятия системы координат и системы отсчёта полагаются совпадающими. Полагается, что положение точки и её состояние измеряются в некоторой идеальной системе, выбираемой наблюдателем по его усмотрению.

Состояния точки в два различных момента времени могут быть определены относительно одной и той же системы координат. Будем полагать, что из первого состояния во второе можно попасть, совершив преобразование системы координат:

(3)

Здесь величина

определяет преобразование, которое следует совершить для такого перехода. При этом есть разность времён этих двух миров:

(4)

Также будем полагать, что эти два состояния разделены друг от друга бесконечно малым расстоянием во времени:

(5)

Под скоростью будем понимать величину, определенную классическим способом: Если величина

зависит от величины , и с течением величина испытывает изменение, то скоростью называется предел отношения приращений величин и :

(6)

Ещё одно небольшое отступление нужно сделать для описания и выбора точной модели преобразования Пуанкаре. Дело в том, что пока рассматриваются лишь пространственно-временные преобразования, им в действительности удовлетворяет два различных преобразования:

(7)

и

(8)

Здесь в первом случае используется скалярно-векторное сопряжение, во втором - скалярно-алгебраическое. Для того, чтобы выявить, в чем они различаются с точки зрения группы Пуанкаре, распишем их операторное представление:

		(9)
	(10)
	(11)

Видно, что эти два оператора отличаются псевдоскалярной частью параметра. В силу того, что её можно вынести из оператора преобразования, оба варианта могут быть представлены как:

	(12)
	(13)

где через

обозначен оператор с вынесенной псевдоскалярной составляющей из его параметров:

(14)

Таким образом, предстоит сделать выбор между двумя вариантами преобразований: 1) использовать скалярно-векторное сопряжение или 2) использовать скалярно-алгебраическое сопряжение. Выберем вариант 1 с отбрасыванием рассмотрения псевдоскалярной составляющей параметра преобразований в силу того, что пока в наши цели не входит рассмотрение псевдоскалярных преобразований и в силу того, что векторное сопряжение удобнее в силу его линейности.

А именно:

	(15)
	(16)

Поэтому мы можем выполнить дальнейший вывод более наглядно.

В силу того, что величина

и её приращение являются скалярами, имеем:

(17)

И в случае когда

мало, имеем:

	(18)
	(19)

Используя это соотношение для преобразования полуточки, распишем выражение для преобразования точки:

	(20)

Оставив члены первого порядка малости по

:

(21)

Используя определение полуточки

получим:

(22)

Положив точку функцией величины

и сравнив с разложением её в ряд Тейлора в окрестности , получим:

(23)

Это выражение и является определением скорости точки

, если она движется во времени , испытывая в каждый его момент преобразование Пуанкаре:

(24)

Выражение (23) является скалярно-векторно сопряжённым самому себе:

(25)

То есть абсолютное приращение точки

выполняется несмотря на произвольность величины так, что точка остается сама себе скалярно-векторно сопряжённой.

Отметим также, что в силу свойства точки

верно равенство:

(26)

Далее...

Придерживаясь модели полной группы Пуанкере, мы должны считать величины

и дуальными бикватернионами, имеющими 16 компонент. В силу требования скалярно-векторной сопряжённости самой себе точка часть компонентов имеет нулевыми.