Вычисление интеграла по поверхности (стр. 2 из 2)
Следовательно
Вычисление интеграла по поверхности.
1.
Аналогично
Пример 1.
Найти поток вектора
через часть поверхности параболоида 
в направлении внутренней нормали. 
-проектируется на 
с двух сторон и 
образует с осью Ох углы 
(острый и тупой ) 
Аналогично
Пример 2. Вычислить
, где 
-сфера 
, нормаль 
внешняя. 
Пример 3. Найти поток вектора
через часть сферы 
в направлении внешней нормали
Пример 4.
Пример 5.
Теорема Остроградского-Гаусса.
Дивергенция.
-поток вектора через поверхность 
в направлении 
за единицу времени есть разность между количеством жидкости вытекающей из области 
и количеством жидкости втекающей в область .1.
. Следовательно из области 
жидкости вытекает столько же сколько втекает.2.
жидкости или газа вытекает больше, внутри существует источник.3.
жидкости или газа втекает больше чем вытекает , внутри существует сток.Чтобы оценить мощность источников и стоков внутри
нам необходима теорема Остроградского-Гаусса. 
Если
-непрерывна вместе с частными производными в области то:
Поток изнутри
равен суммарной мощности источников и стоков в области за единицу времени.
Величина потока вектора через замкнутую поверхность
:
является глобальной характеристикой векторного поля в области и очень приблизительно позволяет судить о наличии источников и стоков в области 
.· Поток представляет собой избыток жидкости протекающей в сторону положительной нормали
, а не абсолютное количество жидкости прошедшей через независимо от направления течения. В связи с этим удобно ввести локальную характеристику распределения стоков и источников. Такой характеристикой является дивергенция (плотность потока в точке):Дивергенция:
Определение:
- стягивается в точку.Определение: Дивергенцией векторного поля
в точке 
называется предел отношения потока векторного поля через поверхность 
к объему , ограниченному этой поверхностью, при условии что поверхность 
стягивается в точке 
.Дивергенция характеризует отнесенную к единице объема мощность потока векторного поля
исходящего из точки 
, т.е. мощность источника и стока 
находящегося в точке . 
- средняя объемная мощность потока 
. 
-существует источник в точке . 
- существует сток в точке Теорема 2.
Доказательство:
ч.т.д.Пример 1.
. Найти поток вектора через всю поверхность тела 
, 
в направлении внешней нормали.Решение:
1.
2.
Литература
1. Ефимов А.В. Математический анализ (специальные разделы). – М. Высшая школа, 1980
2. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Б.Х. Математический анализ, I,II ч. М. Издательство МГУ, 1987
3. Шилов Г.Е. Математический анализ функции нескольких вещественных переменных. ч. 1 – 2, М., Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1972.
4. Сборник задач по математике для втузов. Специальные разделы математического анализа I,II ч. М. Наука 1981.