Вычисление интеграла по поверхности (стр. 1 из 2)
Содержание
1)Поверхностный интеграл второго рода
2)Вычисление интеграла по поверхности
3)Теорема Остроградского-Гаусса
4)Дивергенция
Литература
интеграл теорема доказательство
Интеграл по поверхности
Поверхность будем рассматривать
1. как образ замкнутой области
при непрерывном отображении 2. Отображение можно задать в векторном виде
в каждой точке гладкой поверхности 3. Для
существует нормаль 
, перпендикулярный к касательным 
кривым 
в точке 
. Следовательно равен векторному произведению касательных к векторов:
, 
поверхность
-направление касательных прямых к
и 
в т. 
к поверхности 
.Направляющие косинусы нормали
к поверхности 
Задание векторного поля характеризует задание вектор функции:
Примеры векторных полей:
- поле скоростей текущей жидкости или газа.- гравитационное поле
- электростатистическое поле.
Если в какой то области
, заполненной жидкостью (или газом), текущей с некоторой скоростью , к каждой точке 
можно поставить в соответствие векторное поле 
, то получим векторное поле скоростей текущей жидкости.Поверхностный интеграл второго рода.
Определение интеграла по поверхности.
Вычисление.
Дано:
- область ограниченная поверхностью 
Дано:
- поверхность 
-векторное поле скоростей текущей жидкости или газа через поверхность
в направлении нормали 
.Функции
- непрерывны в области с границей .Т/н : поток жидкости (или газа) через поверхность
в направлении .Решение.
1. Поверхность
разобьем на 
произвольных частей.
2. Выберем по точке
3. Вычислим
скорость течения жидкости в точке 
4. Определим
, где 
-скалярное произведение
-единичная нормаль к поверхности в точке
- вектор в точке .5. Составим
6. Найдем
Механический смысл интеграла по поверхности
-объем цилиндра с основанием
и высотой 
.Если
-скорость течения жидкости , то 
равно количеству жидкости или газа протекающий через поверхность 
за единицу времени в направлении нормали 
. 
- общее количество жидкости или газа протекающей через поверхность 
в положительном направлении нормали равен потоку векторного поля через поверхность в направлении нормали .Вычисление интеграла по поверхности
Пусть нормаль
: 
Заметим, что
Действительно,
как углы со взаимно перпендикулярными сторонами. Следовательно 
, 
-угол между касательной плоскостью к и его проекцией на плоскость 