Оцінювання параметрів розподілів (стр. 2 из 4)

. (5)

Метод найбільшої правдоподібності полягає в тому, що за оцінку параметра береться таке його значення, при якому функція правдоподібності досягає свого максимуму.

Параметр

знаходять, розв’язуючи відносно нього рівняння

. (6)

Часто для зручності функцію правдоподібності заміняють її логарифмом і замість (6) розв’язують рівняння вигляду

, . (7)

Якщо щільність ймовірності

або ймовірність можливого значення залежать від параметрів, то найбільш правдоподібну оцінку системи параметрів одержують під час розв’язання системи рівнянь

(8)

або

. (9)

Найбільш правдоподібні оцінки при досить загальних умовах мають такі важливі властивості:

– вони є обґрунтованими,

– асимптотично нормально розподіленими, однак не завжди незміщеними,

– серед усіх асимптотично нормально розподілених оцінок вони мають найбільшу ефективність.

Має місце також наступне положення: якщо взагалі є ефективна оцінка, її можна отримати методом найбільшої правдоподібності.

3. Інтервальне оцінювання параметрів

Інтервальною називають оцінку, що визначається двома числами – кінцями інтервалу. Інтервальні оцінки дозволяють визначити точність і надійність точкових оцінок.

Надійністю (довірчою ймовірністю) оцінки невідомого параметра

за допомогою знайденої за даними вибірки статистичної характеристики називають ймовірність , з якою виконується нерівність :

чи, що те ж саме

.

Звичайно використовують рівень надійності, що має значення: 0,95; 0,99 і 0,999.

Довірчим називають інтервал (

), який покриває невідомий параметр із заданою надійністю .

1 Довірчі інтервали для оцінки математичного сподівання нормального розподілу при відомому

. Розглянемо задачу інтервальної оцінки невідомого математичного сподівання кількісної ознаки по вибірковій
середній нормально розподіленої сукупності з відомим середньо квадратичним відхиленням . Знайдемо довірчий інтервал, що покриває параметр з надійністю .

Вибіркова середня

змінюється від вибірки до вибірки. Тому її можна розглядати, як випадкову величину , а вибіркові значення ознаки , , ... , (ці числа також змінюються від вибірки до вибірки) – як однаково розподілені незалежні випадкові величини , , ... , . Тобто, математичне сподівання кожної з цих величин дорівнює і середнє квадратичне відхилення – .

Можна показати, що у разі нормального розподілення випадкової величина

вибіркова середня , знайдена за незалежними спостереженнями, також розподілена нормально з параметрами:

, . (12)

Поставимо вимогу, щоб було виконано співвідношення

, (13)

де

– задана надійність.

Застосуємо до нормально розподіленої випадкової величини

відому з теорії ймовірностей формулу про ймовірність відхилення нормально розподіленої випадкової величини зі середньоквадратичним відхиленням від його математичного сподівання не більше ніж на

, (14)

де

– табульована функція Лапласа (3).

При цьому у формулі (14) відповідно до (12) необхідно замінити

на , на , залишивши математичне чекання без зміни.

Тоді одержимо:

, (15)

де введено таке позначення

. (16)

Підставивши у формулу (15) вираз величини

через з (16)

, (17)

перетворивши її до вигляду:

.

З огляду на те, що ймовірність

задана і дорівнює (13), а також, що випадкова величина є формальним поданням вибіркової середньої , остаточно одержимо:

. (18)

Цю оцінку називають класичною. Відповідно до неї з надійністю

можна стверджувати, що довірчий інтервал покриває невідомий параметр . При цьому величина визначається з рівності (18), а точність оцінки – з (17).