Оцінювання параметрів розподілів (стр. 3 из 4)

З формули (17) видно, що із зростанням обсягу вибірки

величина зменшується, тобто точність оцінки підвищується. З співвідношення (18), де , із врахуванням відомого зростаючого характеру функції Лапласа (3), випливає, що підвищення надійності класичної оцінки (18) призводить до погіршення її точності.

2 Довірчі інтервали для оцінки математичного сподівання нормального розподілу при невідомому

. Ускладнимо постановку задачі, розглянутої в попередньому пункті, вважаючи, що тепер середнє квадратичне відхилення нормально розподіленої кількісної ознаки невідомо.

У цьому випадку за даними вибірки побудуємо випадкову величину

(її значення будемо традиційно позначати відповідною малою буквою ), що є функціональним перетворенням випадкової величини , введеної в попередньому пункті:

. (19)

Тут збережено позначення, які введені в попередньому пункті. Крім того, вжито

, що є "виправлене" середнє квадратичне відхилення (1.7).

Можна показати, що випадкова величина

(19) має розподіл Стьюдента (2.8) з ступенями волі і щільністю розподілу:

,

Де

,

– Гама-функція Эйлера (2.4).

Очевидно, що розподіл Стьюдента визначається параметром

– обсягом вибірки та не залежить від невідомих параметрів і , що зумовило його практичну цінність. Оскільки функція є парною відносно , ймовірність виконання нерівності можна перетворити таким чином:

.

При заміні нерівності в круглих дужках на еквівалентну йому подвійну нерівність і заміні

на так само, як у попередньому пункті, остаточно одержимо:

.

Тобто, використовуючи розподіл Стьюдента, можна знайти довірчий інтервал

, що покриває невідомий параметр із надійністю . Величина при цьому знаходиться в таблиці розподілу Стьюдента у залежності від значень параметрів і .

3 Довірчі інтервали для оцінки середнього квадратичного відхилення

нормального розподілу. Тепер вирішимо задачу інтервальної оцінки з надійністю невідомого генерального середнього квадратичного відхилення нормально розподіленої кількісної ознаки за його "виправленим" вибірковим середньо квадратичним відхиленням s. Це означає, що має виконуватися умова:

чи, що те ж саме,

. (20)

Подвійну нерівність у виразі (20) зручно перетворити до вигляду:

(21)

, (22)

де введено позначення

(23)

і враховано, що відхилення

відносно , тобто – мала величина в порівнянні з , так що .

Вибіркове середнє квадратичне відхилення

змінюється від вибірки до вибірки, тому його можна розглядати як випадкову величину, що ми дотримуючись традиції позначимо відповідною великою літерою . Помноживши всі члени останньої нерівності (22) на , одержимо нову нерівність

,

що після введення позначення

(24)

прийме остаточний вигляд:

. (25)

Відзначимо, що нерівності (21) і (25) еквівалентні. Тому рівність (20) можна тепер переписати так:

. (26)

Пірсон показав, що величина

(24) після її підвищення до квадрату, тобто у вигляді , підкоряється закону розподілу "хі-квадрат" (5), тому і має таке позначення. Можна показати, що щільність розподілу самої випадкової величини має при цьому наступний вигляд:

. (27)

Важлива особливість цього розподілу полягає в тому, що воно є інваріантним відносно оцінюваного параметра

, і залежить лише від обсягу вибірки .

Відомо, що ймовірність неперервній випадковій величині

знаходитися на інтервалі ( , ) виражається у такий спосіб через щільність її розподілу:

.

Застосувавши цю формулу в нашому конкретному випадку ймовірності перебування випадкової величини

(24) із щільністю у вигляді (27) на інтервалі (25), одержимо:

. (28)

Співвідношення (28) можна розглядати як рівняння щодо невідомої величини

(23) при заданих значеннях і . Це рівняння було розв’язано в загальному вигляді зі складанням таблиць, по яких можна знайти значення . Знаючи величину і "виправлене" вибіркове середнє квадратичне відхилення s по формулам (21), (23) визначаємо довірчий інтервал для оцінки середнього квадратичного відхилення нормального розподілу.