Оцінювання параметрів розподілів (стр. 4 из 4)

4 Оцінки істинного значення величини, що вимірюється, і точності вимірів. Ця задача подає великий практичний інтерес для метрології.

Нехай проведено

незалежних однаково точних вимірів деякої фізичної величини, істинне значення якої невідомо. До того ж невідомо також і середнє квадратичне відхилення випадкових похибок вимірювання. Результати окремих вимірів , , ... , можна розглядати, як випадкові величини , , ... , , що є незалежні (виміри незалежні), мають те ж саме математичне сподівання (істинне значення величини, що вимірюється), однакові дисперсії (виміри однаково точні) і нормально розподілені (таке допущення підтверджується досвідом).

Отже, усі припущення, що було зроблено під час отримання довірчих інтервалів у пунктах 1 і 2, виконуються. Тому можна безпосередньо використати отримані в них формули. Іншими словами, істинне значення величини, що вимірюється, можна оцінювати по середньому арифметичному результатів окремих вимірів за допомогою довірчих інтервалів.

Середнє квадратичне відхилення

випадкових похибок вимірів у теорії помилок характеризує точність вимірів (точність приладу).

Для оцінки

використовують "виправлене" середнє квадратичне відхилення . Оскільки звичайно результати вимірів взаємно незалежні, мають одне й теж саме математичне сподівання (істинне значення величини, що вимірюється) і однакову дисперсію (у випадку однаково точних вимірів), то теорію, викладену в пункті 3, можна застосувати і для оцінки точності вимірів.

5 Інтервальна оцінка ймовірності біноміального розподілу. У підрозділі 2 у якості приклада 1 було вирішено задачу точкової оцінки ймовірності біноміального розподілу. Як точкову оцінку невідомої ймовірності

було узято відносну частоту появи події ( – число появ події, – число випробувань). Було отримано математичне сподівання і дисперсію оцінки.

Тепер буде знайдено довірчий інтервал для оцінки ймовірності за відносною частотою.

Для спрощення припустимо, що кількість іспитів

досить велика, а ймовірність не є близькою ні до одиниці, ні до нуля (досить, щоб обидві величини і були більше чотирьох). Тоді можна вважати, що частота події є випадковою величиною , розподіл якої є наближеним до нормального закону (у сенсі функції розподілу). Параметрами цього закону будуть і .

Тому до випадкової величини

можна застосувати відому формулу про ймовірність відхилення нормально розподіленої випадкової величини зі середньо квадратичним відхиленням від її математичного сподівання не більше ніж на

, (29)

де

– табульована функція Лапласа.

Зажадавши, щоб умова для ймовірності у формулі (29) виконувалося з надійністю

, і, замінивши в ній на , на , на , а також увівши позначення , одержимо

або інакше

.

При практичному застосуванні цієї формули випадкову величину

необхідно замінити невипадковою відносною частотою , що спостерігається, і підставити :

.

Під час розв’язання цієї нерівності щодо невідомої ймовірності

у припущенні підвищимо до квадрата обидві її частини. При цьому одержимо еквівалентну квадратну нерівність відносно :

.

Її коефіцієнт при старшому члені та дискримінант позитивні, тому її корені

і дійсні, причому не дорівнюють один одному. Отже ця нерівність має розв’язання:

,

дисперсія крива розподіл сподівання

що і визначає довірчий інтервал, який слід знайти.

Аналогічний розв’язок нерівності отримуємо і у разі

.