Абелевы универсальные алгебры (стр. 11 из 11)
Определим бинарное отношение
на алгебре 
следующим образом: 
тогда и только тогда, когда
и
Непосредственной проверкой убеждаемся, что
– конгруэнция на алгебре .Таким образом осталось показать, что
удовлетворяет определению 2.1.Пусть
тогда
Пусть
. Это означает, что 
и 
. Но тогда 
и
Следовательно,
Пусть
тогда
и
Это означает, что
и 
. Таким образом 
Лемма доказана.
Результаты, полученные в леммах 4.1, 4.2, 4.3 можно теперь сформулировать в виде следующей теоремы.
Теорема 8Класс всех абелевых алгебр мальцевского многообразия является наследственной формацией.
Пусть
– конгруэнция на алгебре 
. 
– подалгебра алгебры , 
и 
. Тогда введем новое обозначение 
Лемма 4.4. Пусть определено множество
. Тогда 
– конгруэнция на , 
Доказательство:
Так как
, то для любого элемента 
всегда найдется такой элемент 
, что 
. Следовательно, 
где
.Таким образом
.Пусть теперь
, 
. Тогда 
где
. Следовательно, для любой 
-арной операции 
получаем 
Теперь, поскольку
, то по лемме 3.2 – конгруэнция на .Пусть
. Тогда, очевидно, 
т.е.
. Так как 
то
Покажем теперь, что
. Допустим противное. Тогда найдется такая пара 
, что 
и . Из определения следует, что существует такая пара 
, что
Так как
то применяя мальцевский оператор
получаем 
Из леммы 2.2. теперь следует, что
.Итак,
. Лемма доказана.Подалгебра
алгебры называется нормальной в , если является смежным классом по некоторой конгруэнции алгебры .Лемма 4.5. Любая подалгебра абелевой алгебры является нормальной.
Доказательство:
Пусть
– подалгебра абелевой алгебры . Так как 
, то по лемме 4.4. на существует такая конгруэнция , что 
Лемма доказана.
Заключение
Таким образом, в данной работе мы подробно с доказательствами на основании результатов работ [3] и [4] изложили теорию централизаторов конгруэнции универсальных алгебр и рассматрели формационные свойства нильпотентных алгебр работы[2], на основании результатов
3 ввели понятие абелевой алгебры. Используя методы исследования работы [1] доказали следующий основной результат: класс всех универсальных абелевых алгебр из мальцевского многообразия образует наследственную формацию.Список литературы
Скорняков, Л.А., Элементы общей алгебры. – М.: Наука, 1983. – 272 с.
Шеметков Л.А., Скиба А.Н., Формации алгебраических систем. – М.: Наука, 1989. – 256 с.
Smith J.D. Mal'cev Varieties // Lect. Notes Math. 1976. V.554.
-арные системы. Минск, 1987. – 120 с.Кон П., Универсальная алгебра. М.:Мир, 1968.–351 с.
Ходалевич А.Д., Свойства централизаторов конгруэнции универсальных алгебр // Вопросы алгебры. – 1996.–Вып.10 с. 144–152
Ходалевич А.Д. Формационные свойства нильпотентных алгебр // Вопросы алгебры. – 1992. – Вып.7.–с. 76–85
Ходалевич А.Д. Прикладная алгебра // Лекции по спецкурсу «Универсальные алгебры». Ч1.–Гомель. 2002. – с. 35.