Алгебра логики (стр. 2 из 2)

При этом под высказываниями понимается всякое предложение, относительно которого можно утверждать, что оно истинно или ложно.

Например:

В=<один плюс один - два>

есть истинное высказывание.

Рассмотрим, какое смысловое содержание можно вложить в некоторые сложные высказывания на примере ФАЛ 2-х аргументов.

Инверсия

Читается НЕ Х или Х с чертой, отрицание Х.

Возьмем, например, такое высказывание: А=<Киев-столица Франции>, тогда сложное высказывание НЕ А означает: не верно, что А, т.е. не верно, что <Киев-столица Франции>.

Из простых высказываний можно строить более сложные, применяя так называемые связи.

Логические связи – это ФАЛ, аргументами которых являются простые высказывания.

Конъюнкция

Возьмем 2 высказывания:

А=<Москва – столица РФ>В=<дважды два - четыре>

тогда сложное высказывание: А & В будет истинным, так как истинны оба этих высказывания.

Поскольку таблица истинности для конъюнкции совпадает с таблицей умножения, если истинному высказыванию приписать значение '1', а ложному - '0', то сложное высказывание можно назвать произведением.

X1	X2	f1(X1,X2)
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Функция конъюнкции истинна тогда, когда истинны одновременно оба высказывания.

Дизъюнкция

Это сложное высказывание истинно тогда, когда истинно хотя бы одно высказывание, входящее в него.

X1	X2	f1(X1,X2)
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

Читается X₁ ИЛИ X₂: Некоторое отличие от смысла союза "или", принятого в русском языке: в данном случае этот союз употребляется в смысле объединения, а не разъединения.

Логическая равнозначность

Это сложное высказывание истинно тогда, когда истинны или ложны одновременно оба высказывания.

Отсюда следует, что вне зависимости от смысла, равнозначными являются как истинные, так и ложные высказывания.

Например,

А=<дважды два - пять>B=<один плюс два - шесть>А~В равнозначны.

Импликация

Это сложное высказывание ложно только тогда, когда X₁ – истинно, а X₂ – ложно.

X1	X2	f1(X1,X2)
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

Читается: если X₁, то X₂. При этом X₁ – посылка, X₂ – следствие.

Если посмотреть на таблицу истинности, то может показаться странным название этой функции, т.к. из него следует, что истинным может быть высказывание, составленное из двух ложных.

Но в действительности, все верно, т.к. содержанием высказываний в алгебре логики не интересуются.

Тогда из ложной посылки может следовать ложное следствие и это можно считать верным: <если Киев – столица Франции>, то <2-квадрат 3>.

Эквивалентности

В некоторых случаях сложное и длинное высказывание можно записать более коротким и простым без нарушения истинности исходного высказывания. Это можно выполнить с использованием некоторых эквивалентных соотношений.

Дизъюнкция:

х х х х ... х х х= х,

т.е. истинность высказывания не изменится, если его заменить более коротким, таким образом, это правило приведения подобных членов:

– постоянно истинное высказывание.

0

x = x

x₁

x₂ = x₂ x₁

- (переместительный) коммуникативный закон.

x₁

х₂ х₃ = (x₁ х₂) х₃ = x₁ (х₂ х₃)

- сочетательный закон.

Конъюнкция:

х

х х х... х х х= х

правило приведения подобных членов:

- постоянно ложное высказывание

- постоянно ложное высказывание

Сложение по mod 2

1

при нечетном числе членов, 0 - при четном числе членов

Правило де Моргана

Докажем для двух переменных с помощью таблицы истинности:

Х1	Х2	1 2
0	0	1	1
0	1	1	1
1	0	1	1
1	1	0	0

Операция поглощения:

Х

XY = X

или в общем виде

X

X*f(X,Y,Z...) = X;

Операция полного склеивания:

(по Y) (по Х)

Операция неполного склеивания: