· при одном испытании вытаскивание любой из карточек появляется в одном и только одном исход; например, если была вытащена карточка 17, т.е. произошло событие е17, то в это же время не могло произойти событие е5, состоящее в вытаскивании карточки с номером 5
| e5 |
| ei |
| e17 |
| E1 | E2 | E3 | E4 | E5 | E6 |
Рис 1. Рис. 2.
События ei, состоящие в появлении карточки с номером i (i=1,2,3,…. n), могут послужить примером элементарных событий, а прямоугольник е – примером пространства элементарных событий, связанных с реализацией испытания S – выталкиванием одной карточки после разреза прямоугольника на Е на маленькие прямоугольники и вытаскивания случайной карточки после тщательной перестановки.
Определение 1. Пространство элементарных событий (полная группа событий) множество событий таких, что в результате испытания обязательно должно произойти хотя бы одно из них и любые два из них несовместны.
Пространство элементарных событий Е, определенное бросанием игральной кости, представляет события, где еi выпало n очков (n=1,2,3,4,5,6)
Рассмотрим события (рис 2):
А-"выпало четное число очков"
В-"выпало не меньше 2 очков"
С-"выпало не больше 2 очков"
А произошло, если произошло одно из элементарных событий е2, е4, е6. Выразим это символом е2еА, е4еА, е6еА.
Тогда: е2
е3 е1
е4 = еВ, =еС
е5 е2
е6
Поскольку е2, е4, е6 есть некоторые из элементов
Пространства Е={е1, е2, е3, е4, е5, е6}, эту тройку удобно назвать подпространством (частью) пространства Е значит, событие А можно рассматривать как пространство ему благоприятствующих элементарных событий {е2; е3; е4; е5; е6}, событие С - как подпространство ему благоприятствующих элементарных событий {е1, е2}. Если ei не благоприятствует событию с-то пишут ei=A.
Реализация испытаний S однозначно определяет пространство элементарных событий Е. Любое случайное событие Н связанное с испытанием S, можно рассматривать как подпространство благоприятствующих этому событию элементарных событий пространства Е. Изобразить его можно некоторой фигурой, построенной из клеточек символи-
зирующих элементарные события, благоприятствующие событию Н.
| Е1 | Е2 | Е3 | Е4 | Е5 | Е6 |
Например, событие Н1-"выпало меньше трех очков"-может быть изображено одной заштрихованной фигурой (рис3), а событие Н6-"выпало больше 2 или меньше 5 очков" - двумя фигурами (рис 4).
| Е1 | Е2 | Е3 | Е4 | Е5 | Е6 |
Сравним следующие события: А - появление двух очков при бросании игральной кости., В-появление четного числа очков при бросании игральной кости.
Замечаем следующие соотношения между событиями, если произошло А, то тем самым произошло и В.
Событие А является частью события В состоит в осуществлении трех элементарных событий: "появление 2 очков", "появление 4 очков", "появление 6 очков", а событие А - одним из них – "появление двух очков".
Определение 1. Говорят, что событие А влечет за собой событие В (говорят так же, что В содержит, является следствием, включает А, А является частью В) и обозначают это символом АсВ (или ВэА), если все исходы, составляющие А, входят и в В.
Возможность представить события как подпространства пространства Е помогает геометрически проиллюстрировать соотношения А и В (рис 5).
Сопоставим следующие события: А-"появление герба при подбрасывании монеты", В - "не появление цифры при подбрасывании монеты".
| Е1 | Е2 | Е3 | Е4 | Е5 | Е6 |
Рис 5.
Если же монета не может укатиться и застрять в щели пола или встать на ребро, то можно ввести определение.
Определение 2. Если произошло событие А, то и произошло событие В, и в то же время, если произошло событие В, то произошло событие А. Символическая запись: АсВ и ВсА. Тогда запишем А=В, и будем говорить, что события А и В равносильны.
Пусть событию А благоприятствуют элементарные события (клетки) е1, е2, е3, е4, е5, е6, а событию В элементарные события е8, е9, е10, е11, е12 (рис 6)
А
| Е1 | ||
| Е2 | Е3 | Е4 |
| Е5 | Е6 | |
| Е7 | е10 | |
| Е8 | е11 | |
| Е9 | Е12 |
Е рис 6. С=АUB
А1
| Е3 | ||
| Е1 | Е2 | Е4 |
| Е5 | Е6 | Е7 |
| В1 | Е8 |
Е рис.7
С1=А1UВ1
Пусть событию С благоприятствуют все элементарные события, которые представляют заштрихованные клетки.
Событие С назовем объединением А и В. Оно обозначает, что произошло или А, или В.
Пусть теперь событию А1 благоприятствует элементарные события (клетки) е1, е2, е3, е4, е5, а событию В1 – элементарные события, которые представляют заштрихованные клетки. (рис 7).
И на этот раз будем считать события С1 объединением событий А1 и В1. но поскольку е5 и е4благоприятсвуют и А1 и В1, то на этот раз означает, что произошло или А1, или В1, или то и другое вместе.
Обобщим и то и другое вместе.
Определение 3. Объединение событий А и В называется событие С, состоящее в наступлении по крайней мере одного из событий А и В.
Такое соотношение принято обозначать символом U: С=АUВ.
В общем случае:
Определение 4. Объединение событий А1, А2, А3,…. Аn (или А1, или А2,…. ., или Аn, или несколько из них, или всех).
Символически А=А1UА2UА3U... . UАn.
Для случайных событий имеют место закономерности:
АUВ=ВUА
(АUВ) UС=АU(ВUС)
Для операций над событиями часто используют скобки, что бы показать, в какой последовательности следует производить действия.
Например, во второй закономерности (АUВ) UС означает, что сначала нужно найти сумму (объединение) событий А и В, а затем сумму получившегося события и С.
Пусть событию А благоприятствуют элементарные события (клетки) е1, е2, е3, е4, е5, а событию В – элементарные события (клетки) е3, е4, е5, е6, и е7 (рис 8.)
Пусть событию С благоприятствуют элементарные события, которые представлены заштрихованными клеточками (рис. 8).
Логично событие С назвать пересечением событий А и В. Оно означает, что произошло и А и В.
В таком случае применяется символ С=А∩В.
В общем случае пересечение событий определяется так:
Определение 5. пересечение событий А1,A2, А3,…, Аn называется событие А, состоящее в одновременном использовании всех (и А1 и А2,…. и Аn) событий.
Символически: А=А1∩А2∩... ... ∩Аn.
| А | ||
| Е1 | Е2 | Е3С |
| Е4 | Е5 | |
| Е6 | Е7 | |
| В |
Рис.8.
Примеры:
1. А-"входящий в подъезд человек-мужчина"
В-"входящий в подъезд человек светловолосый"
С-"входящий в подъезд человек светловолосый мужчина"
Событие С происходит при одновременном исполнении событий А и В, поэтому С=А∩В.
2. произвольно выбираем два двузначных числа. Определяем события:
А – "выбранные числа кратны 2"
В – "выбранные числа кратны 3"
С – "выбранные числа кратны 6
Событие С происходит, если одновременно происходят события А и В. Если одно из событий А или В не произойдет, то не произойдет С.
Пусть событию А благоприятствуют элементарные события (клетки) е1, е2, е3, е4, а событию В – е5, е6, е7 (рис 9)
| Е1 | Е2 | ||
| Е3 | Е4 | Е5 | Е6 |
| А | Е7 | ||
| В |
А∩В=_
Рис.9.
Ясно, что совместное осуществление АиВ невозможно: элементарных событий, благоприятствующих и тому, и другому событию, нет.
Определение 6. два события АиВ, пересечение которых – невозможное событие (А∩В=_), называются несовместимыми событиями.
Определение 7. два события АиВ называются совместимыми, когда существует по крайней мере одно элементарное событие, благоприятствующее событию А, и событию В.
Рассмотрим следующие пары событий:
А1-"выпадение герба при подбрасывании монеты"
А2 - "невыпадение герба при подбрасывании монеты"
В1-"выздоровление больного"
В2-"невыздоровление больного"
С1-"появление новой кометы в текущем году"
С2-"непоявление новой кометы в текущем году"
Естественно события в каждой из пар считать противоположными.
Установим два свойства, которым удовлетворяет любая пара событий:
1. объединение событий каждой из пары – достоверное событие:
А1∩А2=_
В1∩В2=_
С1∩С2=_
Определение 8. если определение событий А и В или В=А, если АиВ противоположные события.
На языке пространства элементарных событий противоположное событие А представляется дополнением события А в отношении всего пространства элементарных событий Е (рис 10).
| А |
| А |
Рис.10.
Бросаем игральную кость. Выпасть может или одно, или два, или три, или четыре, или пять, или шесть очков. Каждое из этих событий элементарное, и вместе они образуют пространство элементарных событий. Но будут ли эти события равновозможными? Какие обстоятельства могут это обеспечить? Это довольно сложный вопрос. Конечно можно предположить, что эти события равновозможные, когда кость является правильным кубом с центром тяжести в своем геометрическом центре, когда она сделана из идеального однородного материала, когда она подбрасывается наугад одинаковым способом. Этих "тогда" так много, что трудно всех их учесть.
Равновозможными элементарными событиями будем считать такие события, любое из которых по отношению к другим событиям не обладает никаким преимуществом, появляется чаще другого при многократных испытаниях, производимых в одинаковых условиях.