А3. Р(Ω) =1
А4. (аксиома конечной аудитивности)
Если А и В несовместимы, то Р(А+В) =Р(А) +Р(В).
Для решения задач, связанных с бесконечными последовательностями событий, требуется дополнить приведенные аксиомы следующей аксиомой непрерывности:
А5. для любой убывающей последовательности А1эА2э…. эАnэ…событий из И такой, что__Аn= ǿ имеет место равенство е1m Р(Аn) =0.
Укажите несколько простых свойств вероятности, которые непосредственно следуют из аксиом А2-А4. Из аксиом А3-А4 и равенства А+А= Ω следует, что Р(А) =1-Р(А).
Полагая здесь А= Ω, получим Р(ǿ) =0.
Определение 1. несколько событий называются несовместимыми в данном опыте, если никакие два из них не могут появится вместе.
Примеры.
появление 1,2,4очков при бросании игральной кости;
попадание и промах при одном выстреле – несовместимые события.
Теорема 1. вероятность суммы двух несовместимых событий равна сумме вероятности этих событий:
Р(А+В) =Р(А) +Р(В) (1)
Докажем эту теорему для схемы случаев.
Пусть возможные исходы опыта сходятся к совокупности случаев. Для наглядности изобразим их в виде n точек.
mnAknB
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
n
Предположим, что из этих случаев m благоприятны событию А, а k событию В. Тогда Р(А) =mчn; P(B) =kчn.
Так как события А и В несовместны, то нет таких случаев, которые благоприятны m+k случаев И
Р(А+В) =m+kчn.
Подставим полученные выражения в формулу (1) получим тождество. Теорема доказана.
Обобщим теорему сложения на случай трех событий. Обозначая события А+В буквой Д и присоединяя к сумме еще одно событие С, легко доказать, что: Р(А+В+С) =Р(Д+С) =Р(Д) +Р(С) =Р(А+В) +Р(С) =
=Р(А) +Р(В) +Р(С).
Методом полной индукции можно обобщить теорему сложения на произвольное число несовместных событий. Предположим, что она справедлива для n событий: А1, А2,... Аn, и докажем, что она будет справедлива для n+1 событий: А1, А2,... ... Аn,An+1
Обозначим: А1+А2+…. +Аn=C
Имеем: Р(А1+А2+…. +Аn+An+1) =P(C+An+1) =P(C) +P(An+1).
Но т. к. для n событий теорема справедлива, то Р(С) =Р(А1) +Р(А2) +…. +Р(Аn), откуда Р(А1+А2+…+Аn+An+1) =P(A1) +P(A2) +... . P(An) +P(An+1), что и требовалось доказать.
Таким образом, теорема сложения вероятностей применима к любому конечному числу несовместных событий. Ее удобно записать в виде: Р(∑Аi) =∑P(Ai)
Отметим следствия, вытекающие из теоремы сложения вероятностей.
Предварительно введем вспомогательное понятие.
Определение 2. говорят, что несколько событий в данном опыте образуют полную группу событий, если в результате опыта непременно должно появиться хотя бы одно из них.
Примеры.
3) выпадение герба и выпадение цифры при бросании монеты;
4) попадание и промах при выстреле – полные группы событий.
Следствие 1. если события А1, А2,…Аn, образу4ют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице: ∑P(Ai) =1.
Доказательство. Так как события А1, А2,…. Аn образуют полную группу, это появление хотя бы одного из них – достоверное событие.
P(A1+A2+... +An) =1
Т. к. А1, А2,…. Аn – несовместные события, то к ним применима теорема сложения вероятностей.
P(A1+A2,... .,+An) =P(A1) +P(A2) +... . +P(An) = ∑P(Ai),
откуда ∑P(Ai) =1, что и требовалось доказать.
Перед тем, как ввести второе следствие теоремы сложения, определим понятия о "противоположных событиях".
Определение 3. противоположными событиями называются два несовместных события, образующие полную группу.
Событие, противоположное событию А, принято обозначать А.
Примеры.
5) А-попадание при выстреле;
А-промах при выстреле;
6) В-выпадение герба при бросании монеты;
В-выпадение цифры при бросании монеты – противоположные события.
Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице. Р(А) +Р(А) =1.
Доказательство. Вспомним для доказательства, что А+А=И, Р(И) =1, А*А= ǿ, Тогда по теореме 1 получаем:
1=Р(И) =Р(А+А) =Р(А) +Р(А), что и требовалось доказать.
Это следствие есть частный случай следствия 1. оно важно в практическом применении теории вероятностей. На практике весьма часто оказывается легче вычислить вероятность противоположного события А, чем вероятность прямого события А. в этих случаях вычисляют Р(А) и находят Р(А) =1-Р(А).
Пример 7.
Круговая мишень (рис 14) состоит из трех зон: I, II, III. Вероятность попадания в первую зону при одном выстреле – 0,15, во вторую – 0,23, в третью - 0,17. Найти вероятность промаха.
Решение. Обозначим А-промах при выстреле, тогда А-попадание. Тогда А=А1+А2+А3, где А1, А2, А3-непопадание соответственно в первую, вторую, третью зоны.
По теореме 1 Р(А) =Р(А1) +Р(А2) +Р(А3) =0,15+0,23+0,17=0,55, откуда Р(А) =1-Р(А) =0,45
В ряде случаев приходится вычислять вероятность суммы событий, которые могут быть совместными.
Теорема 2. для любых двух событий справедливо равенство: Р(А+В) =Р(А) +Р(В) - Р(АВ) (2)
Доказательство. Событие А состоит из компонент А*В и А*В, а событие в из компонент А*В и А*В. Поэтому А+В=(АВ) +(АВ) +(АВ) +(АВ) =(АВ) +(АВ) +(АВ), и поскольку входящие в это положение компоненты попорио не пересекаются, то
Р(А+В) =Р(АВ) +Р(АВ) +Р(АВ) (3)
С другой стороны имеем Р(А) =Р(АВ) +Р(АВ); и Р(В) =Р(АВ) +Р(АВ), а потому P(A) +P(B) =2P(AB) +P(AB) +P(AB).
Сравнивая эти равенства с (3) получаем доказываемую формулу (2)
Для произвольного числа событий формула выглядит так: Р(∑Ai) = ∑P(Ai) - ∑P(Ai-Aj) + ∑P(AiAjAk)... . +(-1) n-1P(A1A2... An).
В частности при n=3 имеем: Р(А+В+С) =Р(А) +Р(В) +Р(С) - Р(АВ) - Р(АС) - Р(ВС) +Р(АВС).
Условная вероятность.
Второй основной теоремой теории вероятностей является терема умножения вероятностей.
Перед тем как излагать теорему умножения введем важное понятие: понятие о независимых и зависимых событиях.
Определение 1. событие А называется независимым от события В, если вероятность события А не зависит от того, произошло ли событие В, или нет.
Определение 2. событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А является в зависимости от того, произошло ли событие В, или нет.
Примеры.
1) опыт состоит в бросании двух монет; рассматриваются события:
А-появления герба на первой монете
В-появление герба на второй монете
В данном случае вероятность события А не зависит от того, произошло ли событие В, или нет; событие А независимо от события В.
2) в урне два белых шара и один черный; два лица вынимают из урны по одному шару; рассматриваются события:
А-появление белого шара у первого лица
В-появление белого шара у второго лица
Вероятность события А до того, как известно что-либо о событие В, равна 2/3. если стало известно, что событие В произошло, то вероятность события А становится равной Ѕ, из чего заключаем что событие А зависит от события В.
Определение 3. вероятность события А, вычисленная при условии, что имело место другое событие В, называется условной вероятностью события А и обозначается Р(А/В).
Условие независимости события А от события В можно записать в виде: Р(А/В) ≠Р(А).
Сформулируем теорему умножения вероятностей.
Теорема. Вероятность произведения двух событий равна произведению одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место: Р(АВ) =Р(А) Р(В/А)
Докажем теорему для схемы случаев.
Пусть возможные исходы опыта сводятся n случаям. Изобразим их для наглядности в виде n точек:
…………………………………
Предположим, что событию А благоприятны m случаев, а событию В благоприятны k случаев. Т.к. мы не предполагали события АиВ несовместными, то вообще существуют случаи, благоприятные и событию А, и событию В одновременно. Пусть число таких случаев L. Тогда Р(АВ) = L/n; P(A) =m/n
Вычислим Р(В/А), т.е. условную вероятность события В в предположении, что А имело место.
Если известно, что событие А произошло, то из ранее возможных n случаев остаются возможными только те m, которые благоприятны событию А. из них L случаев благоприятны событию В. Следовательно, Р(В/А) =L\n
Подставляя выражения Р(АВ) и Р(А), Р(В/А) в формулу (1) получаем тождество. Теорема доказана.
При применении теоремы умножения безразлично, какое из событий А и В считать первым, а какое вторым, и теорему умножения можно записать так: Р(АВ) =Р(В) Р(А/В)
Следствие 1. если событие А не зависит от события В, то и событие В не зависит от события А.
Доказательство. Дано, что событие А не зависит от события В, т.е. Р(А) =Р(А/В).
Требуется доказать, что событие В не зависит от события А, т.е. Р(В) =Р(В/А) (2)
Будем предполагать, что Р(А) ≠0.
Напишем теорему умножения вероятностей в двух формах:
Р(АВ) =Р(А) Р(В/А),
Р(АВ) =Р(В) Р(А/В), откуда
Р(А) Р(В/А) =Р(В) Р(А/В) или согласно условию (2)
Р(А) Р(В/А) =Р(В) Р(А).
Разделим обе части последнего равенства на Р(А). получим:
Р(В/А) =Р(В), что и требовалось доказать.
Следствие 2. если событие А не зависит от события В, то справедливо равенство:
Р(АВ) =Р(А) Р(В) (3)
Доказательство. Событие А не зависит от события В, если выполняется равенство Р(А/В) =Р(А) (4)
По теореме о вероятности произведения двух событий Р(АВ) =Р(В) Р(А/В). (5)
Если в правой части равенства (5) заменить Р(А/В) на Р(В), то придем к (3), причем Р(В) ≠0, то событие А не зависит от события В. Действительно из (3) следует, Р(А) = Р(АВ) чР(В) и следовательно, Р(А) =Р(А/В), что и требовалось доказать.
Пример 3.
В урне 2 белых и 3черных шара. Из урны вынимают подряд два шара. Найти вероятность того, что оба шара белые.
Решение:
А-появление двух белых шаров.
Событие А представляет собой произведение двух событий:
А=А1А2, где А1-появление белого шара, при первом вынимании, А2-появление белого шара при втором вынимании.
По теоремам умножения вероятности Р(А) =Р(А1) Р(А2/А1) =2\5*1\4=0,1.
Понятие независимости событий может быть распространено на случай произвольного числа событий.
Определение 4. несколько событий называются независимыми, если любое из них не зависит от любой совокупности остальных.
Следствием обеих основных теорем –теорем сложения вероятностей и теоремы умножения вероятностей является так называемая формула полной вероятности.