Теория вероятностей на уроках математики (стр. 7 из 10)
Цель: показать учащимся обширность областей применения теории вероятностей, ее значимость в науке и в жизни.
Для ознакомления учащихся с понятием частоты появления какого-либо события в длинной серии испытаний рекомендуется выполнение ряда упражнений, которые требуют ответа на вопрос: "Какое из событий вероятней? ".
Учителю необходимо пояснить учащимся, что сравнивать события следует по их вероятностям.
Например. Что вероятнее –появление герба при бросании монеты или появления нечетного числа очков при бросании игральной кости?
Решение.
Вероятность появления герба при бросании монеты равна 1\2, а появление нечетного числа очков при бросании игральной кости равна 3\6 или 1\2.
Следовательно, эти события равновероятные.
После изучения данного материала, ученики должны уметь:
Приводить примеры достоверных, невозможных и случайных событий;
Уметь классифицировать события на достоверные, невозможные и случайные;
Из нескольких событий выделять наиболее вероятное, объяснять свой выбор.
П.2. Вероятностное пространство
При введении понятия "вероятностное пространство" ученики сталкиваются с понятием опыта или испытания. Но этому понятию нельзя дать математическое определение. Ученики должны понимать, что значат слова: "подбросим монету и посмотрим упала она вверх гербом и цифрой" или "зажжем свечу и посмотрим, когда она сгорит". Ученикам следует объяснить, что существенно лишь то, что данное испытание может иметь различные исходы. Для простоты удобно рассматривать лишь случаи, когда множество исходов конечно.
Для того, чтобы ученики убедились в том, что действительно при испытании возможны различные исходы, т.е. множество исходов, проведем эксперимент.
Для эксперимента потребуется игральная кость и свободный стол, на котором будет производиться испытание.
Один из учеников несколько раз подбрасывает игральную кость и каждый раз на доске записывает результат.
В конце испытания полезно подвести итог о возможных множествах исходов:
1. {A1,A2,A3,A4,A5,A6}, Аk –выпадение k очков;
2. {В0, В1}, В0-выпадение четного числа очков, В1-выпадение нечетного числа очков;
3. {C1,C2}, С1-выпадение очков меньше или равно 4, С2-выпадение очков больше или равно 5.
Учителю рекомендуется предложить еще несколько возможных множеств исходов, например, множество {A1,A2}, где Аk выпадение k очков, или множество {В1, С2}, где В1-выпадение нечетного числа очков, С2 - выпадение очков больше или равно 5 и предложить учащимся выяснить: являются ли эти множества исходов множествами исходов данного опыта!
Для того, чтобы можно было выразить вероятность каждого исхода числом, потребуется выбрать "единицу измерения". Можно сказать ученикам, что математики договорились, что сумма вероятностей всех исходов равна 1.
С ребятами рекомендуется обратиться к проведенному эксперименту и выяснить, какой из исходов имеет возможность происходить чаще других.
Выяснив, что ни один из исходов не отвечает этому требованию, учитель делает вывод, что все элементарные исходы равно возможны, а т. к. их сумма равна 1, то вероятность каждой из них равна 1\n, где n-число исходов.
Следует пояснить учащимся, что этот подход называется классической схемой теории вероятностей.
Полезно выполнить следующие упражнение:
Вероятностное пространство задано следующей таблицей:
| Исход | Х1 | Х2 | Х3 | Х4 |
| Вероятность | 0,2 | 0,1 | 0,5 | 0,4 |
Во сколько раз исход Х3 вероятнее исхода Х2. какие исходы равно вероятностны?
Это задание предложено с целью формирования у учащихся умений выявлять вероятностное пространство, а так же умений выделять равновероятностные исходы, сравнивая их.
Необходимо пояснить учащимся, что существует несколько подходов к определению вероятности.
1. Классическое определение вероятности.
Урок можно провести в форме лекции-диалога [Гл.1§5] т. к. это определение фиксирует долю благоприятных для данного события исходов среди всех равновозможных, необходимо научить определять число всех равновозможных исходов. После определения вероятности рекомендуется решить несколько задач на непосредственное нахождение вероятностей событий согласно классическому определению, тем саамы выявить алгоритм решения таких задач.
Алгоритм:
1) обозначить событие (Н1)
2) сосчитать число всех исходов (n)
3) сосчитать число исходов благоприятствующих данному событию m
4) найти отношение благоприятствующих исходов к числу всех исходов
На отработку алгоритма предлагается решить следующие задачи.
Задача 1. В урне 3красных шара, 2 белых и 4 синих. Какова вероятность того, что с первого раза вынут красный шар?
Задача 2. При броске игральной кости вычислить вероятность следующих событий
"выпало 3 очка"
"выпало 6 очков"
"выпало четное число очков"
"выпало простое число очков"
"число выпавших очков кратно 3".
Задача 3. Набирая номер телефона, абонент забыл одну цифру и набрал ее на удачу. Найти вероятность того, что набрана нужная цифра.
Задача 4. Бросили две монеты. Какова вероятность того, что на одной монете выпал герб, а на другой цифра?
Для запоминания учащимися формулы Р(Н) =m\n, полезно придать ей наглядную иллюстрацию. (рис.15)
Р(Н) = 
Рис.15.
Н - случайное событие, n-число всех равновозможных элементарных событий, m-число равновозможных элементарных событий, благоприятствующих событию Н.
Затем следует перейти к изучению свойств вероятности и совместно с учащимися установить, что:
1) если А некоторое событие, то 0≤Р(А) ≤1;
2) 0(И) =1, где И-достоверное событие;
3) 0(√) =0, где √-невозможное событие.
2. Статистическое определение вероятности.
Главное, чтобы учащиеся поняли, что при статистическом определении в качестве вероятности события принимают его относительную частоту.
Ученикам следует пояснить, что существует еще геометрическое определение вероятности и существует аксиоматическое определение вероятности события.
П.3. Теоремы сложения
Прежде чем приступать к формулированию и доказательству этих теорем, необходимо вспомнить определение суммы и произведения событий; совместных и несовместных событий.
Вначале на примере задачи следует дать учащимся представление о формулировке теоремы 1.
Задача 1. экзаменационные работы абитуриентов зашифрованы целыми числами от 1 до 90 включительно. Какова вероятность того, что номер наудачу взятой работы кратен 10 или 11?
Решение.
Пусть событие А –номер работы кратный10. событие В-номер работы кратный 11, тогда событие А+В состоит в том, что номер работы кратен 10 или 11. Легко видеть это Р(А) =9\90 (1), и Р(В) =8\90 (2), а т. к. число исходов благоприятствующих событию А+В равно 17 и, следовательно Р(А+В) =17\90 (3).
Сравнивая (3) с (1) и (2), видим что вероятность события А+В и сумма вероятностей событий А и В равны между собой, т. е Р(А+В) =Р(А) +Р(В)
Формулировка теоремы достаточно проста, поэтому учащиеся самостоятельно и могут предложить.
Решение задачи может быть использована для выявления способа доказательства сформулированной теоремы. Достаточно обратить внимание на основные моменты решения.
1) подсчет числа всех исходов испытания
2) нахождение числа исходов испытания, благоприятствующих появлению событий А; В;
3) отыскание числа исходов испытания, благоприятствующих появлению события А+В.
Полная аналогия доказательства теоремы с решением задачи позволяет учащимся самостоятельно ее доказать. Можно предложить специальную запись доказательства в виде таблицы, клетки которой заполняются учащимися.
n - число всех исходов испытания.
Р(А+В) =Р(А) +Р(В)
| События | Число исходов испытания, благоприятствующих появлению события | Вероятность события |
| А | m | m\n |
| B | K | k\n |
| A+B | m+k | m+k\n |
Важно, чтобы ученики видели необходимость обоснования шагов доказательства и умели это делать, ссылаясь на определение несовместных событий и классическое определение вероятности.
После доказательства теоремы целесообразно дать геометрическую интерпретацию выведенной формулы и пояснить: m,n,k – величины площадей нарисованных фигур.
В тетрадях учащимся рекомендуется зафиксировать правило, которое выражается последним равенством и может быть распространено на любое конечное число попарно несовместных событий: вероятность объединение попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.
 |  |
+
Для закрепления этой формулы ученикам предлагается решить ряд задач.
Задача 2. в лотерее выпущено 10000билетов и установлено: 10 выигрышей по 200рублей, 100выигрышей по 100рублей, 500-по 25рублей и 1000 выигрышей по 5рублей. Гражданин купил один билет. Какова вероятность того, что он выиграет не меньше 25рублей?
Решение задачи предполагается учащимися оформить в таблицу, с целью формирования навыка решать задачи по алгоритму.
| Алгоритм | Конкретное соответствующие задание заданному алгоритму |
| Ввести обозначение для заданных величин | А-выигрыш не менее 25рублей |
| А1-выигрыш равен 25рублям | |
| А2-выигрыш равен 100рублям | |
| А3-выигрыш равен 200рублям | |
| Подобрать формулу | Т. к. куплен один билет, то А+А1UA2UA3Где события А1, А2, А3 попарно несовместимы, поэтому Р(А) =Р(А1UA2UA3) =P(A1) +P(A2) +P(A3) P(A1) =0.05; P(A2) =0.01; P(A3) =0.001P(A) =0.05+0.01+0.001=0.061 |
| Ответ | 0,061 |
С целью выявления разнообразных способов решение задач на применение теоремы сложения вероятностей событий предлагаем рассмотреть следующие задачи: