Метод наближеного обчислення коренів Програма (стр. 1 из 2)

Міністерство освіти і науки України

ФАКУЛЬТЕТ ІНФОРМАТИКИ

КАФЕДРА ІНФОРМАЦІЙНИХ УПРАВЛЯЮЧИХ СИСТЕМ ТА ТЕХНОЛОГІЙ

Реєстраційний №________

Дата ___________________

КУРСОВА РОБОТА

Тема:

Метод наближеного обчислення коренів. Програма.

Рекомендована до захисту

“____” __________ 2008р.

Робота захищена

“____” __________ 2008р.

з оцінкою

_____________________

Підписи членів комісії

Зміст

Вступ

Теоретична частина

1. Межі дійсних коренів

2. Число дійсних коренів

Практична частина

1. Опис програми

2. Текст програми

Контрольні приклади

Висновок

Література

Вступ

Не існує методу для пошуку точних значень многочленів з числовими коефіцієнтами. Адже, деякі проблеми механіки, фізики і інших галузей техніки зводиться до питання про корені многочленів, іноді досить високим степенем. Ця обставина з’явилася приводом для численних досліджень, що мали метою навчитися робити ті чи інші висловлення про корені многочлена з числовими коефіцієнтами, не знаючи цих коренів. Для многочленів з дійсними коефіцієнтами розроблялися методи визначення числа їхніх дійсних коренів, шукалися границі, між якими ці корені можуть знаходитися. Нарешті, багато досліджень було присвячено методам наближеного обчислення коренів: у технічних додатках звичайно досить знати лише наближені значення коренів з деякою заздалегідь точністю і якби, наприклад, корені многочлена записувалися в раидикалах, ці радикали все рівно були б замінені їх наближеними значеннями.

Теоретична частина

1. Межі дійсних коренів

Щоб знайти корені рівняння з достатнім степенем точності, треба знати, як ці корені розміщені на комплексній площині або на дійсній осі. Заважимо, що іноді навіть немає потреби знаходити числові значення коренів, а досить лише з‘ясувати їх розміщення на площині (число дійсних, зокрема, додатних від‘ємних коренів тощо). Наприклад, одна з важливих проблем механіки – теорія стійкості – потребує з‘ясування умов, при яких усі корені даного алгебраїчного рівняння мають від‘ємні дійсні частини.

Зробимо два зауваження щодо комплексних коренів многочленів.

Зауваження 1. Усі корені многочлена

лежать у середині круга з центром у точці 0 і радіусом

(1)

Зауваження 2. Комплексні корені многочлена з дійсними коефіцієнтами розміщені симетрично відносно дійсної осі.

Переходячи тепер до розгляду дійсних коренів многочленів з дійсними коефіцієнтами, будемо знову позначати змінне буквою x, а не z.

З наведеного зауваження 1 дістаємо таке твердження:

Теорема. Усі дійсні корені рівняння

міститься в інтервалі , де

, .

Справді, всі комплексні корені лежать у крузі

, а тому, якщо серед них є дійсні корені, то вони повинні потрапити в зазначений інтервал.

Теорему 1 часто називають теоремою про межі коренів рівняння. Є чимало способів, які дають змогу з більшою точністю встановлювати межі дійних коренів алгебраїчних рівнянь. Розглянемо один з них, так званий спосіб Ньютона.

Зробимо деякі зауваження.

Число

, визначене за теоремою 1, дає одночасно верхню межу додатних коренів многочлена і нижню межу його від’ємних коренів, бо вказує інтервал , в якому лежать усі дійсні корені, якщо вони існують. Один з шляхів уточнення, звуження меж, між якими слід шукати дійсні корені, полягає в тому, щоб окремо знаходити нижню і верхню межі додатних коренів та нижню і верхню межі від’ємних коренів даного многочлена, тобто такі чотири числа , що всі додатні корені многочлена лежать в інтервалі , а всі від’ємні – . Якщо многочлена моє корінь нуль, досить розглянути многочлена, утворений з даного ділення на x.

Завдання полегшується тим, що фактично досить знати спосіб знаходження лише одного з цих чотирьох чисел, наприклад

– верхньої межі додатних коренів. Знаходження інших трьох меж дійсних коренів рівняння легко звести до знаходження верхньої межі додатних коренів деяких допоміжних рівнянь.

Так, зробивши в рівнянні

заміну змінного , дістанемо рівняння , корені якого зв’язані з відповідними коренями заданого рівняння співвідношенням . Якщо – верхняя межа додатних коренів рівняння , тобто , то , звідки видно, щ за нижню додатних коренів рівняння можна взяти число : .

Аналогічно, заміна

переводить рівняння в рівняння , корені якого зв’язані з відповідними коренями рівняння рівністю . Якщо – всі додатні корені рівняння , то – всі від’ємні корені рівняння . З нерівності видно, що , тобто верхня і нижня межі від’ємних коренів рівняння виражаються через межі додатних коренів рівняння : .

Отже досить мати правило для знаходження верхньої межі додатних коренів многочлена.

2. Число дійсних коренів

Знання числа і розміщення дійсних коренів многочленів є важливою передумовою застосування багатьох методів чисельного розв’язування рівнянь. В окремих випадках деякі відомості про число дійсних коренів можна дістати за допомогою досить поверхневого аналізу. Іноді при знаходженні меж коренів виявляється, що многочлена не має додатних або від’ємних коренів. Однак для повної відповіді на питання про число дійсних коренів многочлена з дійсними коефіцієнтами (або навіть про число таких коренів на довільному, наперед заданому інтервалі дійсної осі) потрібні більш глибокі дослідження.

У багатьох випадках число дійсних коренів рівняння з дійсними коефіцієнтами можна визначити за простим правилом, яке дав Декарт. Перш ніж формулювати це правило, зробимо деякі зауваження.

Зауваження 1. Розглядатимемо кількість змін знаків у даній упорядкованій скінченій послідовності дійсних чисел

розуміючи під цим кількість пар сусідніх чисел цієї послідовності, які мають протилежні знаки. Наприклад, у послідовності –1,-2,6,3,-1,4 є 3 зміни знаків, а в послідовності –1,-2,-6,-3,-1,-4 є 0 змін знаків. Якщо які-небудь з чисел дорівнюють нулю, то при підрахунку числа змін знаків їх до уваги не беруть. Зауважимо, що коли перше й останнє числа і даної послідовності мають однакові знаки, то кількість змін знаків у послідовності парна; якщо ж і мають протилежні знаки, то кількість змін знаків – непарна. Справді, члени послідовності, які безпосередньо йдуть за кожною зміною знаків, мають знак, протилежний знаку тих членів, які передували зміні знаків. Отже, якщо остання зміна знаків має непарний номер, то числа послідовності, що йдуть за нею (і зокрема, ) матимуть знак, протилежний до .