Метод замены неизвестного при решении алгебраических уравнений (стр. 2 из 6)
2. Возможности применения метода замены неизвестного при решении алгебраических уравнений
В этой главе выявим возможности применения метода замены неизвестного при решении алгебраических уравнений в стандартных и нестандартных ситуациях. Сначала остановимся на случаях, где замена очевидна.
Пример 1. Решить иррациональное уравнение
Замена:
Обратная замена:
/ 
Ответ:
Пример2. Рассмотрим уравнение, содержащее знак модуля:
Замена:
Обратная замена:
корней нет, 
Ответ:
Пример 3. Решить уравнение: 7
Замена:
Обратная замена:
, 
, 
корней нет. 
Ответ:
Пример 4. Решим биквадратное уравнение:
при помощи замены: 
или 
посторонний корень.Обратная замена:
Ответ:
Обращаем внимание на то, что биквадратное уравнение имеет четыре корня, если соответствующее ему квадратное имеет два положительных корня.
Пример 5. Рассмотрим другое простейшее уравнение, сводящееся к квадратному:
Попытка перемножить скобки в левой части исходного уравнения приведёт нас к уравнению четвёртой степени, решение которого приведёт к трудоёмким вычислениям.
Обозначим через
выражение 
.В переменных исходное уравнение имеет вид: 
Раскрыв скобки, получим:
Обратная замена:
= 
или = - 
= 
корней нет 
Ответ:
.Мы продемонстрировали примеры, где замена очевидна. Однако во многих случаях удобная замена далеко не очевидна, и поэтому необходимо выполнить некоторые преобразования. Тем самым мы выявим возможность применения метода замены неизвестного в нестандартных ситуациях.
Пример 1. Решить уравнение
Решение. Очевидно, что х=0 – не корень уравнения. Разделив числитель и знаменатель каждой дроби на х
0, запишем 
и, сделав замену
получим 
Вернёмся к «старой» переменной:
Ответ:
Пример 2.Решить уравнение
Решение. Выделим полный квадрат суммы:
Сгруппируем первый, второй и четвёртый члены:
, или
Введём замену
получим 
Вернёмся к «старой» переменной:
Ответ:
Пример3. Решить уравнение 
Решение. Положим,
(1)Тогда исходное уравнение запишется так:
Поскольку мы ввели две новые функции, надо найти ещё одно уравнение, связывающее переменные 
и 
. Для этого возведём оба равенства (1) в куб и заметим, что 
Итак, надо решить систему: 
Ответ:
Пример 4.Решить уравнение
Решение. Введём замены:
(2)Тогда исходное уравнение примет вид
