2. Возможности применения метода замены неизвестного при решении алгебраических уравнений
В этой главе выявим возможности применения метода замены неизвестного при решении алгебраических уравнений в стандартных и нестандартных ситуациях. Сначала остановимся на случаях, где замена очевидна.
Пример 1. Решить иррациональное уравнение
Замена:
Обратная замена:
Ответ:
Пример2. Рассмотрим уравнение, содержащее знак модуля:
Замена:
Обратная замена:
Ответ:
Пример 3. Решить уравнение: 7
Замена:
Обратная замена:
Ответ:
Пример 4. Решим биквадратное уравнение:
Обратная замена:
Ответ:
Обращаем внимание на то, что биквадратное уравнение имеет четыре корня, если соответствующее ему квадратное имеет два положительных корня.
Пример 5. Рассмотрим другое простейшее уравнение, сводящееся к квадратному:
Попытка перемножить скобки в левой части исходного уравнения приведёт нас к уравнению четвёртой степени, решение которого приведёт к трудоёмким вычислениям.
Обозначим через
Раскрыв скобки, получим:
Обратная замена:
Ответ:
Мы продемонстрировали примеры, где замена очевидна. Однако во многих случаях удобная замена далеко не очевидна, и поэтому необходимо выполнить некоторые преобразования. Тем самым мы выявим возможность применения метода замены неизвестного в нестандартных ситуациях.
Пример 1. Решить уравнение
Решение. Очевидно, что х=0 – не корень уравнения. Разделив числитель и знаменатель каждой дроби на х
и, сделав замену
Вернёмся к «старой» переменной:
Ответ:
Пример 2.Решить уравнение
Решение. Выделим полный квадрат суммы:
Сгруппируем первый, второй и четвёртый члены:
Введём замену
Вернёмся к «старой» переменной:
Ответ:
Решение. Положим,
Тогда исходное уравнение запишется так:
Ответ:
Пример 4.Решить уравнение
Решение. Введём замены:
Тогда исходное уравнение примет вид