Метод замены неизвестного при решении алгебраических уравнений (стр. 4 из 6)
3. Типизация приёмов введения новых неизвестных при решении алгебраических уравнений
В третьей части курсовой работы осуществим типизацию приёмов введения новых неизвестных при решении алгебраических уравнений.
Введение новых переменных может быть как явным, так и неявным. Классифицируем наши уравнения по способам неявной реализации метода замены переменной:
Использование основного свойства дроби.
Использование основного свойства дроби применяется в уравнениях следующего вида:
где
постоянные, 
.В таких уравнениях сначала проверяют, является ли
корнем уравнения, и производят замену 
.Выделение квадрата.
Выделение квадрата двучлена чаще всего встречается при решении уравнений, которые можно привести к такому виду, чтобы одна часть уравнения представляла собой сумму квадратов двучлена.
Переход к системе уравнений.
Этот приём целесообразен при решении уравнений вида
где коэффициенты
и 
равны, противоположны по знаку или отличаются на постоянный множитель.Раскрытие скобок парами.
Такой методдаёт хороший эффект в уравнениях вида
Где
или 
или 
Раскрытие скобок парами и деление обеих частей уравнения.
Раскрытие скобок парами и деление обеих частей уравненияцелесообразно применять в случаях, когда перед нами уравнение вида
где
, или 
или 
.Сведение к однородному уравнению.
Преобразовав один из множителей и выделив из него выражение, равное второму множителю и подставляя полученное выражение в исходное уравнение, удаётся прийти к однородному уравнению второй степени, т.е. к уравнению вида
где
- постоянные, отличные от нуля, а 
, 
- многочлены.Тригонометрическая подстановка.
Тригонометрическая подстановка используется в тех случаях, когда область определения исходного уравнения совпадает с областью значения тригонометрической функции или включается в эту область.
4. Комплект типовых задач, сводящихся к применению метода замены при решении уравнений
Исходя из четвёртой задачи курсовой работы, составим комплект типовых задач, сводящихся к применению метода замены при решении уравнений.
Пример 1.
Решение. ОДЗ уравнения есть все действительные
. Сделаем замену неизвестной 
, где 
. Тогда исходное уравнение запишется в виде 
(1) 
, то уравнение (1) 
Из решения этих уравнений промежутку
принадлежат только 
. Поэтому 
Ответ:
Пример 2.
Решение. Если сделать замену
уравнение упрощается, но остаётся иррациональным. Существенного продвижения можно достичь, если ввести новую переменную: 
или 
посторонний корень 
Ответ:
Пример 3.
Решение. Видим, что к данному уравнению можно применить ранее указанный нами приём – «раскрытие скобок парами». Суммы чисел, стоящих в первой и четвёртой, во второй и третьей скобках, равны, т.е. 1+5=2+4. Перемножив эти пары скобок, приходим к уравнению:
Введём замену:
, получим 
Решив квадратное уравнение 
находим, что 
или 
Возвращаемся к исходной переменной и решаем совокупность уравнений:
В первом уравнении совокупности
корней нет.Перепишем второе уравнение:
Ответ:
Пример 4.
Решение. Заметим, что произведение чисел, стоящих в первой и четвёртой, во второй и третьей скобках, равны, т.е.
Перемножим указанные пары скобок, запишем уравнение 
Так как
не есть решение данного уравнения, то, разделив обе части на 
, получим равносильное исходному уравнение 
Делая замену переменных
получаем квадратное уравнение 
Обратная замена:
Решения первого уравнения этой совокупности есть
, 
.Второе уравнение этой совокупности решений не имеет.
Ответ:
Пример 5.
Решение. Обозначим
через 
. Данное уравнение перепишем в виде 
. Поскольку 
не есть решение этого уравнения, то это уравнение равносильно уравнению 