Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений (стр. 3 из 3)
Тогда
Воспользуемся приложением:
В итоге оригинал равен
4.2. Первая теорема разложения
Теорема. Если изображение искомой функции может быть разложено в степенной ряд по степеням
, т.е. 
(причем этот ряд сходится к F( p) при
), то оригинал имеет вид 
(причем ряд сходится при всех значениях t ).
§5 Решение задачи Коши для обыкновенных линейных
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение
где ak–действительные числа.
Требуется найти решение данного дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям
x(0)=x0, x`(0)=x`0, …, x(n-1)(0)=x0(n-1)
где x0, x`0, …, x0(n-1) – заданные числа.
Будем предполагать, что искомая функция x(t), все ее производные, а также функция f (t) являются оригиналами.
Пусть
. По формулам дифференцирования оригиналов 
Перейдем от данного дифференциального уравнения к уравнению в изображениях
Перепишем его так
, где 
, а 
Находим так называемое операторное решение уравнения
Найдя оригинал x(t) по его изображению X(p) , мы получим тем самым решение задачи Коши для исходного дифференциального уравнения.
7. Примеры
Пример 1.
Найти решение дифференциального уравнения x(t)4x(t)5x(t)0,
удовлетворяющее условиям x(0) 0, x(0) 1.
Решение. Запишем уравнение в изображениях
Вынесем Х за скобки
Найдем оригинал используя выведенные ранее значения в таблице приложения:
искомое решение -
Пример 2.
Решить дифференциальное уравнение y`-2y=0, y(0)=1.
Решение
Пример 3.
Решить дифференциальное уравнение y`+y=et, y(0)=0.
Решение
Перейдем к уравнению
Пример 4.
Найти решение уравнения 
при начальных условиях y(0)=-1, y`(0)=0.
Решение
Пусть
, тогда 
, 
.Тогда
- изображающее уравнение. Отсюда 
Оригинал для правого слагаемого известен
, а оригинал для 
удобнее найти по теореме свертывания.Известно, что
, поэтому 
Так как
, то 
Таким образом,
Пример 5.
Найти общее решение уравнения 
.
Решение
Для получения общего решения начальные условия зададим так:
y(0)=C1, y`(0)=C2
Если 
, то 
, 
.
И изображение уравнения имеет вид
Отсюда
Согласно приложению
,
Собирая оригиналы всех слагаемых, представляющих Y(p), получаем искомое решение:
если
.Пример 6
Операционный метод может быть применён для решения нестационарных задач математической физики. Рассмотрим случай, когда некая функция u(x,t) зависит лишь от пространственной координаты x и времени t.
Для уравнения теплопроводности будем решать краевую задачу:
a2=const, u(x,0)=φ(x) - начальные условия и u(0,t)=ψ1(t), u(l,t)=ψ2(t), 0 ≤ x≤ l – краевые условия.
Пусть все функции являются оригинальными. Обозначим
- изображение по Лапласу. 
Тогда
Тогда краевые условия:
Уравнение в изображениях:
Библиографический список.
1. Старков В.Н. Операционное исчисление и его применения. Учебн. пособ.-СПб, 2000.
2. Белослюдова В.В., Дронсейка И.П.Специальные разделы математики.Часть 1. Элементы теории функций комплексной переменной. Операционное исчисление: Курс лекций для студентов второго курса специальностей 050702, 050716 / ВКГТУ. – Усть – Каменогорск, 2006.
3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Часть 2. М., 2005
4. Ершова В.В. Импульсные функции. Функции комплексной переменной. Операционное исчисление. Под ред. В.И. Азаматовой. Минск, 1976
Приложение
Таблица оригиналов и их изображений.
| Оригинал | Изображение | Оригинал | Изображение |
| 1 |  |  |  |
 |  |  |  |
 |  |  |  |
 |  |  |  |
 |  |  |  |
| t |  |  |  |
 |  |  |  |
 |  |  |  |
 |  |  |  |
 |  |  |  |
 |  |  |  |