Содержание
§1. Оригиналы и изображения функций по Лапласу. 5
§2. Основные теоремы операционного исчисления. 8
2.7 Дифференцирование оригинала. 11
2.8 Дифференцирование изображения. 12
2.9 Интегрирование оригинала. 12
2.10 Интегрирование изображения. 13
§3. Изображения простейших функций. 13
§4. Отыскание оригинала по изображению.. 15
4.1 Разложение на простейшие дроби.15
4.2. Первая теорема разложения. 16
Операционное исчисление в настоящее время стало одной из важнейших глав практического математического анализа. Операционный метод непосредственно используется при решении обыкновенных дифференциальных уравнений и систем таких уравнений; его можно использовать и при решении дифференциальных уравнений в частных производных.
Основателями символического (операционного) исчисления считают русских ученых М. Е. Ващенко – Захарченко и А. В. Летникова.
Операционное исчисление обратило на себя внимание после того, как английский инженер-электрик Хевисайд, используя символическое исчисление, получил ряд важных результатов. Но недоверие к символическому исчислению сохранялось до тех пор, пока Джорджи, Бромвич, Карсон, А. М. Эфрос, А. И. Лурье, В. А. Диткин и другие не установили связи операционного исчисления с интегральными преобразованиями.
Идея решения дифференциального уравнения операционным методом состоит в том, что от дифференциального уравнения относительно искомой функции-оригинала f(t) переходят к уравнению относительно другой функции F(p), называемой изображением f(t). Полученное (операционное) уравнение обычно уже алгебраическое (значит более простое по сравнению с исходным). Решая его относительно изображения F(p) и переходя затем к соответствующему оригиналу, находят искомое решение данного дифференциального уравнения.
Операционный метод решения дифференциальных уравнений можно сравнить с вычислением различных выражений при помощи логарифмов, когда, например, при умножении вычисления ведутся не над самими числами, а над их логарифмами, что приводит к замене умножения более простой операцией – сложением.
Так же как и при логарифмировании, при использовании операционного метода нужны:
1) таблица оригиналов и соответствующих им изображений;
2) знание правил выполнения операций над изображением, соответствующих действиям, производимым над оригиналом.
Определение 1.Будем действительную функцию действительного аргумента f(t) называть оригиналом, если она удовлетворяет трем требованиям:
1) f (t) 0 , при t 0
2) f(t) возрастает не быстрее некоторой показательной функции
3) На любом конечном отрезке a, bположительной полуоси Ot функция f(t) удовлетворяет условиям Дирихле, т.е.
a) ограничена,
b) либо непрерывна, либо имеет лишь конечное число точек разрыва I рода,
c) имеет конечное число экстремумов.
Функции, удовлетворяющие этим трем требованиям, называются в операционном исчислении изображаемыми по Лапласу или оригиналами.
Простейшим оригиналом является единичная функция Хевисайда
Если функция
Интегралом Лапласа для оригинала f(t) называется несобственный интеграл вида
где
Теорема.
Интеграл Лапласа абсолютно сходится в полуплоскости
∆ При
Заметим, что по определению оригинала
Вычислим этот интеграл:
То есть получаем что F(p) существует при
▲
Замечание. Из доказательства теоремы следует оценка:
при
Определение 2. Изображением по Лапласу функции f (t) называется функция комплексного переменного p = s + iσ, определяемая соотношением
Тот факт, что функция F(t) является изображением оригинала f (t), символически это записывается так:
Сверткой оригиналов
Функции f (t) и g(t) называются компонентами свертки.
Найдем для примера свертку произвольного оригинала
Так как
Теорема 1. Если
∆
Действительно, по определению интеграла Лапласа имеем
Воспользуемся определением свертки:
Изменив порядок интегрирования в двойном интеграле, получим
Введем вместо t новую переменную
что и требовалось доказать. ▲
Для любых комплексных постоянных и :
∆
Это свойство вытекает из свойства линейности интеграла.
Домножим равенство
Так как